Частотные характеристики импульсных систем

Для дискретных систем, так же как и для непрерывных, вводится частотная передаточная функция

где G (z) – дискретная передаточная функция системы.

Частотная передаточная функция импульсной системы зависит от частоты w, является периодической функцией частоты (а не времени!); период этой функции w₀ = 2p/ T. Частотная передаточная функция позволяет определить реакцию импульсной системы на гармоническую последовательность на входе.

Если на входе импульсной системы (импульсного фильтра) с передаточной функцией G (z) действует гармонический сигнал
x (n) = a× sin(n w T), то сигнал y (n) на выходе системы также является гармоническим. Выходная последовательность изменяется с той же частотой, что и входная, и определяется формулой

y (n) = a | G (e^{i w T})|sin(n w T + arg(G (e^{i w T})).

Амплитуду и фазу последовательности на выходе можно найти по комплексному выражению G (e^{i w T}). Отношение амплитуд выходного и входного сигналов равно модулю, а разность их фаз – аргументу этого выражения.

Пример. Непрерывная часть импульсного фильтра является апериодическим звеном с передаточной функцией G ₀(р) = k /(T₀p + 1). Импульсный элемент генерирует короткие прямоугольные импульсы продолжительностью t _и = g T. Определим частотные характеристики фильтра.

Передаточная функция приведенной непрерывной части системы, включая экстраполятор

Теперь вычисляем передаточную функцию импульсной системы, как Z -преобразование G _п(р)

Передаточная функция e ^{-g pT} соответствует звену запаздывания. Из теории известно, что при наличии в системе звена запаздывания
e ^{-t p} с величиной запаздывания t меньше периода квантования Т (а в нашем случае t = g T < T) Z -преобразование вычисляется по формуле

Следовательно,

Итак, если на входе действует последовательность
x (n) = a sin(n w T), то на выходе получим

Поиск по сайту: