АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА

Читайте также:
  1. Барометрическая формула
  2. Барометрическая формула. Распределение Больцмана.
  3. Биография Ф.Тейлора
  4. Визначити енергію вибуху балону. Формула (3)
  5. Внешний фотоэффект и его законы. Формула Эйнштейна для фотоэффекта.
  6. Вопрос 2 Формула апостериорной вероятности Байеса
  7. Вопрос 2 Формула апостериорной вероятности Байеса.
  8. Вопрос 2 Формула апостериорной вероятности Байеса.
  9. Дифракция на трехмерных структурах. Формула Вульфа-Брэггов. Рентгеноструктурный анализ. Понятие о голографии.
  10. Закон постоянства углов кристалла. Формула Вульфа-Брэгга.
  11. Из формулы (8.4) следует формула Байеса
  12. Интерполяционная формула Ньютона.

Пусть функция y= f(x) задана на (a, b) и x 0  (a, b). Поставим следующую задачу: найти многочлен P(x), значения которого в окрестности точки x 0 приближенно совпадали бы со значениями функции f(x) в соответствующих точках. Тогда можно будет считать, что f(x)≈P(x) и задачу вычисления значений f(x) в окрестности точки x 0 можно заменить более легкой задачей вычисления значений P(x).

Пусть искомый многочлен имеет степень n P(x) = P n (x). Будем искать его в виде

(1)


В этом равенстве нам нужно найти коэффициенты .

Для того чтобы этот многочлен был "близок" к функции f(x) потребуем выполнения следующих равенств:

Пусть функция y= f(x) имеет производные до n-ого порядка. Найдем коэффициенты многочлена P n(x) исходя из условия равенства производных.

Введем обозначение n! = 1·2·3… n, 0! = 1, 1! = 1.

Подставим в (1) x = x 0 и найдем , но с другой стороны . Поэтому

Далее найдем производную и вычислим Следовательно, .

Учитывая третье условие и то, что

,

получим , т.е. .

Далее . Значит, , т.е. .

Очевидно, что и для всех последующих коэффициентов будет верна формула

Подставляя найденные значения коэффициентов в формулу (1), получим искомый многочлен:

Обозначим и назовем эту разность n -ым остаточным членом функции f(x) в точке x 0. Отсюда и, следовательно, если остаточный член будет мал.

Оказывается, что если x0  (a, b) при всех x  (a, b) существует производная f (n+1)(x), то для произвольной точки x  (a, b) существует точка, лежащая между x 0 и x такая, что остаток можно представить в виде:

Это так называемая формула Лагранжа для остаточного члена.

Формула

где x  (x 0, x) называется формулой Тейлора.

Если в этой формуле положить x 0 = 0, то она запишется в виде

где x  (x 0, x). Этот частный случай формулы Тейлора называют формулой МакЛорена.

.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)