АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

РАЗЛОЖЕНИЕ ПО ФОРМУЛЕ МАКЛОРЕНА НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

Читайте также:
  1. Автоматизация функций в социальной работе
  2. АНАЛИЗ ФУНКЦИЙ СПЕЦИАЛИСТОВ ПО СТРАТЕГИЧЕСКОМУ МЕНЕДЖМЕНТУ И ПОЛНОМОЧИЙ ОРГАНОВ УПРАВЛЕНИЯ ОРГАНИЗАЦИИ, ПРИНИМАЮЩИХ СТРАТЕГИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ.
  3. Анализ функций управления
  4. Б) Вычисление тригонометрических функций.
  5. В некоторых монархических государствах употребляется тер-
  6. В некоторых странах, например в США, президента заменяет вице-
  7. Валентности и степени окисления атомов в некоторых соединениях
  8. Валеологическая оценка некоторых блюд и пищевых веществ
  9. Ввод функций вручную
  10. Взаимная ортогональность собственных функций эрмитовых операторов
  11. Взаимосвязь правопорядка и функций государства
  12. Возрастание и убывание функций. Экстремумы функции

1. Рассмотрим функцию f(x)=ex. Представим ее по формуле МакЛорена в виде суммы многочлена и некоторого остатка. Для этого найдем производные до (n +1) порядка:

Таким образом, получаем

Используя эту формулу и придавая x различные значения, мы сможем вычислить значение ex.

Например, при x =1, ограничиваясь n =8, получим формулу, позволяющую найти приближенное значение числа e:

причем остаток

Отметим, что для любого x  R остаточный член

Действительно, так как ξ  (0; x), то величина e ξ ограничена при фиксированном x. При x > 0 e ξ < ex. Докажем, что при фиксированном x

Имеем

Если x зафиксировано, то существует натуральное число N такое, что | x |< N.

Обозначим Заметив, что 0<q<1, при n>N можем написать

Но , не зависящая от n, а так как q<1. Поэтому Следовательно,

Таким образом, при любом x, взяв достаточное число слагаемых, мы можем вычислить ex с любой степенью точности.

2. Выпишем разложение по формуле МакЛорена для функции f(x) =sin x.

Найдем последовательные производные от функции f(x) =sin x.

Подставляя полученные значения в формулу МакЛорена, получим разложение:

Несложно заметить, что преобразовав n -й член ряда, получим

.

Так как , то аналогично разложению ex можно показать, что для всех x.

Пример. Применим полученную формулу для приближенного вычисления sin 20°. При n =3 будем иметь:

Оценим сделанную погрешность, которая равна остаточному члену:

Таким образом, sin 20°= 0,342 с точностью до 0,001.

3. f(x) = cos x. Аналогично предыдущему разложению можно вывести следующую формулу:

Здесь также для всех x. Докажите формулу самостоятельно.

4. f(x) =ln (1+ x). Заметим, что область определения этой функции D(y) =(–1; +∞).

Найдем формулу МакЛорена для данной функции.

Подставим все найденные производные в ряд МакЛорена.

Можно доказать, что если x  (–1;1],то , т.е. выведенная формула справедлива при x  (–1;1].

5. f(x) = (1+ x)m, где m  R, m≠0.

При m≠Z данная функция определена при x> –1. Найдем формулу МакЛорена для этой функции:

И следовательно,

Можно показать, что при | x |<1

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)