АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Методы простых итераций

Читайте также:
  1. Aufgabe 2. Изучите образцы грамматического разбора простых предложений.Выберите из текста и разберите 3 простых предложения.
  2. II. Методы непрямого остеосинтеза.
  3. IV. Современные методы синтеза неорганических материалов с заданной структурой
  4. А. Механические методы
  5. Автоматизированные методы анализа устной речи
  6. Адаптивные методы прогнозирования
  7. АДМИНИСТРАТИВНО-ПРАВОВЫЕ МЕТОДЫ УПРАВЛЕНИЯ
  8. АДМИНИСТРАТИВНЫЕ МЕТОДЫ УПРАВЛЕНИЯ, ИХ СУЩНОСТЬ, ДОСТОИНСТВА И НЕДОСТАТКИ
  9. Административные, социально-психологические и воспитательные методы менеджмента
  10. Активные групповые методы
  11. Активные индивидуальные методы
  12. Акустические методы

При большом числе неизвестных схемы прямых методов, дающее точное решение становятся достаточно сложными и удобнее пользоваться приближенными методами решения. Итерационные методы позволяют получать решение с заранее заданной точностью, если доказана сходимость метода. Рассмотрим метод простых итераций.

Дана линейная система:

.................. (1)

Введем рассмотренные матрицы:

(2)

 

Тогда уравнение можно записать в матричном виде:

Ax=b (3)

Предполагая, что диагональные коэффициенты (i=1,2,…,n) разрешим первое уравнение относительно x1 второе – относительно x2 и т.д., получим эквивалентную систему:

(4)

Где при i ≠ j и aij = 0 при i = j

Введем матрицы

и , тогда систему (4) можно записать в матричном виде:

(5)

Будем решать систему методом последовательных приближений. За нулевое приближение принимаем столбец свободных членов x(0)=β, далее последовательно строим матрицы-столбцы в первом приближении:

, далее во втором приближении:

и т.д.

Общая формула вычисления приближений:

или (6)

Если последовательность приближений x(0), x(1),…, x(k) имеет предел

, то этот предел является решением системы (4).

Приведем без доказательства достаточное условие сходимости итераций.

Теорема.

Если для приведенной системы (4) выполнено, по крайней мере, одно из условий:

1) (i=1,2,…,n)

2) (j=1,2,…,n)

То процесс итерации сходится к единственному решению этой системы, независимо от выбора начального приближения.

Следствие.

Для исходной системы (2) (i=1,2,…,n) метод итерации сходится, если выполнены неравенства: (i=1,2,…,n), т.е. если модули диагональных коэффициентов для каждого уравнения системы больше суммы модулей всех остальных коэффициентов (не считая свободных членов).

Процесс итерации хорошо сходится, если элементы матрицы a малы по абсолютной величине. Иными словами, модули диагональных элементов системы (2) должны быть велики по сравнению с модулями недиагональных коэффициентов (свободные члены при этом роли не играют).

 

Пример 5.

Методом простых итераций решим систему:

       
       
       

Шаг 1. Приведем систему к виду, удобному для итерации:

  X1 X2 X3
x1 1,2   -0,1 -0,1
x2 1,3 -0,2   -0,1
x3 1,4 -0,2 -0,2  

Начальные приближения:

k x1 x2 x3
  1,2 1,3 1,4
  0,93 0,92 0,9
  1,018 1,024 1,03
  0,9946 0,9934 0,9916
  1,0015 1,00192 1,0024
  0,999568 0,99946 0,999316
  1,000122 1,000155 1,000194
  0,999965 0,999956 0,999945
  1,00001 1,000013 1,000016
  0,999997 0,999996 0,999996
  1,000001 1,000001 1,000001

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)