Предел функции нескольких переменных

Будем в основном рассматривать функции двух переменных, так как рассмотрение трех и более переменных не вносит никаких принципиальных изменений, но вносит добавочные технические трудности.

Введем одно очень важное вспомогательное понятие – понятие окрестности данной точки.

Окрестностью радиуса точки называется множество всех точек удовлетворяющих неравенству т.е. множество всех точек, лежащих внутри круга радиуса с центром в точке

Если мы будем говорить, что функция обладает каким-либо свойством вблизи точки или в окрестности точки то под этим будем подразумевать, что найдется такой круг с центром в во всех точках которого данная функция обладает указанным свойством.

Пусть дана функция определенная в некоторой области плоскости Рассмотрим некоторую определенную точку лежащую в области

Число называется пределом функции при стремлении точки к точке если такое что для всех точек для которых выполняется неравенство имеет место неравенство

Если число является пределом функции при

то пишут:

Функция называется бесконечно малой при

если

Как и для функции одной переменной, существует специальное представление функции двух переменных:

где

Рассуждая как и в случае функции одной переменной, можно доказать также теорему о пределе суммы, разности, произведения и частного функций нескольких переменных, аналогичную соответствующей теореме для функции одной переменной.

Лекция 24.

Поиск по сайту: