АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Экстремумы функции нескольких переменных

Читайте также:
  1. II. Основные задачи и функции
  2. III. Предмет, метод и функции философии.
  3. IV. Конструкция бент-функции
  4. Ms Excel: мастер функций. Логические функции.
  5. Public void тестОтчетаНесколькихПосещений()
  6. V2: ДЕ 29 - Введение в анализ. Предел функции на бесконечности
  7. V2: ДЕ 32 - Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Производная
  8. V2: ДЕ 35 - Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Производные высший порядков
  9. V2: ДЕ 39 - Интегральное исчисление функции одной переменной. Приложения определенного интеграла
  10. V2: Функции исторической науки
  11. VIII. ФУНКЦИИ НАУЧНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ
  12. XVIII. ПРОЦЕДУРЫ И ФУНКЦИИ

Функция имеет максимум в точке если для всех точек достаточно близких к точке и отличных от нее.

Функция имеет минимум в точке если для всех точек достаточно близких к точке и отличных от нее.

Из этих определений следует, что максимум и минимум функции нескольких переменных может достигаться лишь во внутренних точках области ее определения. Максимум и минимум функции называются экстремумами функции, т.е. говорят, что функция имеет экстремум в данной точке, если эта функция имеет максимум или минимум в данной точке.

Пример. Функция достигает минимума в точке Действительно, а так как при то

Теорема 1 (о необходимых условиях экстремума).

Если функция достигает экстремума при то каждая частная производная первого порядка от или обращается в нуль при этих значениях аргументов, или не существует.

Доказательство. Действительно, дадим переменному определенное значение, именно Тогда функция будет функцией одного переменного Так как при она имеет экстремум, то , следовательно, или равно нулю, или не существует. Совершенно аналогично можно доказать, что или равно нулю, или не существует. Что и требовалось доказать.

Эта теорема не является достаточной для исследования вопроса об экстремальных значениях функции.

Точки, в которых (или не существует) и (или не существует), называются критическими точками функции

Если функция достигает экстремума в какой-либо точке, то (в силу теоремы 1) это может случиться только в критической точке.

Для исследования функции в критических точках существуют достаточные условия экстремума функции двух переменных.

Теорема 2 (о достаточных условиях экстремума).

Пусть в некоторой области, содержащей точку функция имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно; пусть, кроме того, точка является критической точкой функции т.е.

Тогда достаточные условия экстремума для функции выражаются с помощью определителя где

а именно:

1) если то точка экстремума:

при точка максимума,

при точка минимума,

2) если то в точке нет экстремума,

3) если то экстремум может быть и может не быть (в этом случае требуется дальнейшее исследование функции, например, по знаку приращения функции вблизи этой точки).



Эту теорему примем без доказательства.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 |


При использовании материала, поставите ссылку на Студалл.Орг (0.007 сек.)