АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Колебания двух связанных осцилляторов

Читайте также:
  1. V2: Свободные и вынужденные колебания
  2. Административные правонарушения, заключающиеся в неисполнении обязанностей, предусмотренных законодательством о налогах и сборах и связанных со сроками исполнения.
  3. Акустические колебания
  4. Акустические колебания
  5. Акустические колебания, их классификация, характеристики, вредное влияние на организм человека, нормирование.
  6. В схеме, состоящей из конденсатора и катушки, происходят свободные электромагнитные колебания. Энергия конденсатора в произвольный момент времени t определяется выражением
  7. Валовой внутренний продукт и система взаимосвязанных показателей
  8. Взаимосвязанных экономических категорий.
  9. Воздействие негативных факторов на человека и их нормирование (вибрации и акустические колебания)
  10. Вопрос 12 Механические колебания
  11. Вопрос 12 Механические колебания (вибрация)
  12. Вопрос 13 Акустические колебания (шум)

Приведем поучительный пример системы, в которой возникают биения. Рассмотрим два груза массой m, которые могут колебаться по действием двух одинаковых пружин с коэффициентами жесткости k. Пусть грузы соединены также мягкой пружиной с коэффициентом жесткости K<<k. Будем полагать длины всех пружин в нерастянутом состоянии одинаковыми и равными 2L (рис. 1.15).


Рис. 1.15. Пример связанных осцилляторов. Колебания происходят вдоль оси 0х, сила тяжести не учитывается

Тогда в положении равновесия координаты грузов равны

При колебаниях координаты равны, соответственно, x1(t), x2(t). Удлинения пружин записываются как

Мы имеем дело с системой с двумя степенями свободы. Составим уравнения движения. На первый груз действуют сила со стороны пружины k, равная

и сила со стороны пружины K, равная

На второй груз действуют аналогичные силы

и

Соответственно, уравнения движения имеют вид

  (1.42)

Эти уравнения не слишком похожи на первый взгляд на уравнения гармонических колебаний, потому что на колебания x1 оказывают влияния колебания x2 и наоборот. Поэтому преобразуем уравнения к новым переменным, колебания которых были бы независимыми (такие переменные называют нормальными колебаниями (модами). Именно, введем новые переменные x1 иx2:

  (1.43)

Как легко убедиться, положению равновесия соответствуют координаты

В этих переменных уравнения (1.42) принимают вид:

  (1.44)

Складывая и вычитая эти уравнения, приходим к паре независимых уравнений для колебаний нормальных мод:

  (1.45)

Первое уравнение описывает гармонические колебания с частотой

совпадающей с частотой колебаний пружинных маятников в отcутствие соединительной пружины К. Второе уравнение описывает колебания со сдвинутой частотой

Так как K<<k, имеем

  (1.46)

 

Соответственно, мы получаем общее решение системы уравнений:

  (1.47)

Общее решение для координат х1 и х2 колеблющихся точек следуют из (1.47) и (1.43):

  (1.48)

Для примера рассмотрим случай, когда первая масса оттягивается на расстояние a от положения равновесия и отпускается с нулевой начальной скоростью, а вторая масса остается в положении равновесия:

  (1.49)

Этому соответствуют начальные условия для нормальных мод:

  (1.50)

 

Такие уравнения мы уже решали выше. Ответ будет

  (1.51)

Подставляя найденные амплитуды и начальные фазы в (1.48), получаем решения, описывающие биения наших масс около их положений равновесия:

  (1.52)

Графики функций x1(t), x2(t) показаны на рис. 1.16.


Рис. 1.16. Биения в системе двух связанных осцилляторов

В начальный момент времени колеблется лишь первый груз. Затем начинает колебаться второй, а амплитуда колебаний первого уменьшается. Через время t=p/Dw???первый груз останавливается, а второй колеблется с максимально возможной амплитудой. Произошла «перекачка» энергии от первого маятника ко второму. Затем процесс «перекачки» энергии идет в обратном направлении и к моменту t =2p/Dw первый маятник колеблется с максимальной амплитудой, а второй покоится.

На рис. 1.17 демонстрируются биения в системе двух связанных математических маятников.


Рис. 1.17. Биения в системе связанных маятников

Выясним теперь физический смысл нормальных мод, соответствующих чисто гармоническим колебаниям системы. Если возбуждены колебания только первой из них (x1), то A 2= 0 и, как следует из общего решения (1.48),

  (1.53)

Иными словами, первая нормальная мода соответствует такому колебанию, когда оба груза смещаются на одинаковые расстояния от их положений равновесия, но в противоположные стороны. Скорости движения грузов также равны по величине и противоположны по направлению, так что центр масс грузов остается неподвижным. Колебания происходят под действием пружин с жесткостью k, к которым добавляется соединительная пружина с жесткостью К. Как следствие, частота таких колебаний больше частоты колебаний несвязанных осцилляторов

Возбуждение только второй (x2) нормальной моды означает, что A1=0:

  (1.54)

В этом случае грузы смещаются из положения равновесия в одну сторону на одинаковые расстояния. Скорости их также одинаковы по величине и направлению. Соединительная пружина колеблется вместе с грузами, но остается не растянутой и потому не оказывает влияния, так что частота колебаний совпадает с частотой колебаний несвязанных маятников.
В разобранном случае мы познакомились с нормальными модами и выяснили, что их частоты сдвигаются по сравнению с частотами колебаний несвязанных маятников. Любое другое колебательное движение системы можно представить как суперпозицию нормальных мод. Аналогичным образом можно рассмотреть цепочку из множества связанных друг с другом осцилляторов и изучить их нормальные колебания. Такая система представляет собой модель кристаллической решетки.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)