Волны материи

Итак, снова дискретность, таинственные целые числа. В классической физике они появлялись в явлениях интерференции (номера максимумов и минимумов) и в стоячих волнах (число узлов на закрепленных струнах). В 1923 г. была выдвинута фундаментальная гипотеза Луи де Бройля:

Фотону мы были вынуждены приписать импульс

Долгое время уделялось внимание только его волновым свойствам, а в XX в. восстановили в правах и корпускулярные. С электроном получилось наоборот: лишь де Бройль разглядел в нем колебания с длиной волны l. Условие квантования Бора

получило простую интерпретацию. Оно стало условием того, чтобы на длине стационарной орбиты уложилось целое число длин волн:

(аналогия с обоями: если по периметру комнаты укладывается целое число периодов рисунка на обоях, то при дальнейшем оклеивании рисунок воспроизводится на тех же местах - своего рода стационарность). Отсюда вытекает соотношение

Сравнивая с выражением (2.2), видим, что получилась общая формула для фотонов и электронов (и любых других частиц).

Гипотеза де Бройля подтверждена экспериментами Дэвиссона и Джермера (отражение от кристаллических плоскостей) и Томсона (дифракция на фольге). Красив и поучителен опыт В.А. Фабриканта (1949 г.) - дифракция одиночных электронов, доказывающая, что волновые свойства присущи не коллективу частиц, но каждому электрону в отдельности. И в то же время электрон - частица с зарядом и массой.

Вопрос, долго волновавший физиков: что такое микрочастица, волна или корпускула? Здесь налицо некорректная постановка вопроса, подразумевающая альтернативу. Надо «или» заменить на «и»: электрон и волна, и частица. Если задать этот вопрос природе с помощью прибора, то получим ответ, соответствующий прибору: для волнового прибора (например, дифракционной решетки) ответ будет «волна», для корпускулярного (скажем, счетчика) — «частица». Неоднозначность ответа отражает двойственность природы частиц или, точнее, узость нашего альтернативного мышления, допускающего лишь одну из этих возможностей. Это новые для нас объекты, квантовые русалки и кентавры микромира, которых невозможно разделить на людей и животных. В этом смысле микрообъект - не волна, не частица и не их симбиоз. Это новое качество, которое мы количественно отражаем в формуле де Бройля

(3.7)

связывающей волновые и корпускулярные проявления свойств единого объекта. В экспериментах с ускоренными частицами их длина волны де Бройля играет ту же роль, что и длина волны видимого света, определяющая разрешающую силу микроскопа. Ускорители - своеобразные микроскопы микромира, и с их помощью исследуются законы природы на малых расстояниях. Так, длина волны протонов, полученных на ускорителе в Серпухове, составляет примерно 10^{-17 м}, что в 10 млн. раз меньше размеров атомов.

При решении задач, связанных с длиной волны де Бройля, надо с осторожностью применять общую формулу (3.7). Необходимо ясно понимать, какое выражение для импульса следует использовать. Например, в задаче может быть задана скорость частицы v. Если эта скорость много меньше скорости света в вакууме, то можно применить классическое соотношение

На практике считают, что v<<с, если отношение v/c<0.3, то есть

Если же это не так, то следует применить релятивистское соотношение между импульсом частицы и ее скоростью

В задаче может быть задана не скорость частицы, а ее кинетическая энергия К. Критерием применимости классических формул является малость кинетической энергии по сравнению с энергией покоя частицы Е₀=тс². Если условие

выполняется (что, как нетрудно видеть, эквивалентно условию v<<с), то для нахождения импульса можно воспользоваться формулами классической механики

Откуда

Если же кинетическая энергия частицы не мала по сравнению с энергией покоя (тем более превышает ее), то следует использовать релятивистские формулы. В теории относительности выводится общее соотношение между полной энергией частицы Е и ее импульсом, которое уже встречалось выше (2.3):

откуда

(3.8)

Кинетическая энергия К равна разности между полной энергией и энергией покоя:

так что для импульса получаем

Наконец, удобно переписать это выражение так, чтобы под знаком квадратного корня стояли безразмерные величины:

(3.9)

Нетрудно убедиться, что при

формула (3.9) действительно переходит в классическое выражение

Традиционные единицы энергии (Дж) оказываются неудобными в микромире. Поэтому физики предпочитают пользоваться внесистемными единицами, с которыми мы уже встречались - электрон-вольтом (эВ) и его производными (1 кэВ=10³ эВ, 1 МэВ=10⁶ эВ, 1 ГэВ=109 эВ и т. п.).

Так как заряд электрона равен е=1.602 · 10^-19 Кл, то 1 эВ=1.602 · 10^-19 Дж. Поскольку у нас появилась энергия покоя, приведем ее численные значения для электрона и протона вместе с массами этих частиц. Заодно укажем численные значения постоянной Планка, выраженной в эВ · с:

(3.10)

Наконец, встречаются обратные задачи, когда задана длина волны де Бройля l и требуется найти скорость или энергию частицы. Возникает вопрос, как по величине l сразу определить, какими формулами следует пользоваться. Представим себе, что мы применяем для нахождения скорости классическую формулу

и, следовательно, получаем

Критерием справедливости этого результата является малость v по сравнению с с:

откуда

Комбинации констант

есть комптоновская длина волны частицы. По своему физическому смыслу это характерное расстояние, определяющее область l<l_С, где уже неприменима нерелятивистская квантовая механика. Приведем численные значения этого важного параметра для электрона и протона:

(3.11)

Видно, что чем легче частица, тем больше ее комптоновская длина волны, то есть тем раньше проявятся релятивистские эффекты. Для электрона комптоновская длина волны много меньше характерной длины, определяющей размеры атома. Это значит, что к атому применима нерелятивистская квантовая механика. Ядра, состоящие из протонов и нейтронов, имеют размеры порядка 10^{-14 м}, что много больше комптоновской длины волны протона. Следовательно, к ним также применима эта теория.

Пример. Определим скорость частицы, у которой длина волны де Бройля в 10 раз меньше комптоновской длины волны l_С.

По условию

откуда находим

Так как длина волны де Бройля меньше комптоновской длины волны частицы, то мы не можем воспользоваться нерелятивистским соотношением

которое приведет к несуразному ответу v=10 с (как известно, ничто не может двигаться быстрее света). Здесь необходимо применить релятивистскую формулу связи импульса со скоростью

Отсюда вытекает уравнение

решение которого дает

то есть скорость частицы всего на 0.5% меньше скорости света.

Поиск по сайту: