Локальная теорема Лапласа

При решении примеров, рассмотренных ранее, вычисление вероятностей не вызывало затруднений, так как число испытаний n было невелико. Однако, если число испытаний достаточно велико, то использование формулы Бернулли нецелесообразно в силу необходимости выполнения громоздких вычислений. Например, требуется вычислить P ₃₂₀(285) при p= 0,89.

^.

Получить здесь более или менее точный результат практически невозможно.

Теорема 4.1. Локальная теорема Лапласа, представляет собой асимптотическую формулу, которая позволяет приближенно найти вероятность появления события ровно m раз в n испытаниях, если число испытаний достаточно велико.

(4.3)

(4.4)

– функция Гаусса;

(4.5)

Для упрощения расчетов по формуле (4.3) составлены таблицы, в которых помещены значения функции , соответствующие положительным значениям аргумента х. Для отрицательных значений аргумента пользуются теми же таблицами, так как функция четная, то есть . Такие таблицы обычно приводятся в различных учебниках, справочниках по теории вероятностей и математической статистике.

Пример 4.2. Два спортсмена играют в настольный теннис. Вероятность выигрыша первого спортсмена равна 5/9. Какова вероятность того, что он выиграет две партии из пяти?

Решение:

, , , .

.

Найдем значение аргумента .

По таблицам находим Искомая вероятность, равна:

.

Проверим полученный результат, воспользовавшись формулой Бернулли. Имеем:

.

Расхождение ответов объясняется тем, что формула (4.3) дает хорошее приближение при больших значениях n, а в данном случае n = 5. Формула (4.3) позволяет получить более близкие к точному значению результаты, чем больше значение и чем ближе значения p и q к 0,5.

Поиск по сайту: