Поверхности второго порядка в пространстве. Исследование поверхностей методом сечений. Цилиндрические и конические поверхности. Поверхности вращения

Литература. [1]§ 74, 75, 76.

Поверхность пространства является алгебраической второго порядка в том и только в том случае, когда в некоторой аффинной системе координат ее уравнение имеет вид:

Не оговаривая особо, в дальнейшем будем предполагать, что в пространстве дана прямоугольная декартовая система координат.

Любую поверхность можно рассматривать как множество линий, полученных при ее пересечении всеми плоскостями, параллельными между собой. Такой способ называется методом сечений. Будем рассматривать множества плоскостей, параллельных плоскостям координат.

Пусть в пространстве даны поверхность р и плоскость p, параллельная координатной плоскости Оху и определенная уравнением . Обозначим через g¢ - линию пересечения р и p, а через g - проекцию g¢ на координатную плоскость Оху.

Определение 1. Кривая g называется линией уровня поверхности р на плоскости Оху, соответствующей значению h.

Аналогично определяются линии уровня поверхности р на координатных плоскостях Oxz и Оуz.

Теорема 1. Пусть уравнение поверхности Р в системе координат имеет вид . Тогда уравнение представляет собой уравнение ее линии уровня g ¢ на плоскости Оху, соответствующей значению h, в системе координат .

Доказательство. Возьмем произвольную точку , принадлежащую g. Покажем, что ее координаты ‑ решение уравнения . Так как М лежит на g, то существует точка M¢ кривой g¢ пересечения Р и плоскости , которая проектируется параллельно оси в точку М (рис. 96). M¢ лежит в p и проектируется в точку М, поэтому ее координаты равны: . Но точка M¢ лежит на поверхности Р. Ее координаты удовлетворяют уравнению поверхности . Таким образом, координаты М удовлетворяют уравнению линии g.

Обратно, пусть М - некоторая точка плоскости, координаты х и у которой в системе удовлетворяют уравнению . Покажем, что М принадлежит линии уровня g. Рассмотрим точку М¢ плоскости p, которая проектируется параллельно оси в точку М. Координаты М ¢ равны: . Так как они удовлетворяют уравнению , то M¢ лежит на поверхности Р. Поэтому M¢ принадлежит пересечению g¢ поверхности Р и плоскости p, a точка М находится на проекции g линии g¢ на плоскость Оху. Теорема доказана.

Аналогично определяются уравнения линий уровня поверхности на координатных плоскостях Oxz и Оуz. Например, уравнение линии уровня поверхности Р: на плоскости Оуz, соответствующей значению h, т. е. при пересечении плоскостью ,в системе координат имеет вид: . Меняя h, получим систему линий уровня на каждой из координатных плоскостей. Такие системы позволяют судить о форме поверхности. Метод сечений используется на практике. Например, с его помощью на топографических картах изображается рельеф местности, а на морских ‑ рельеф дна.

Перейдем к изучению цилиндрических поверхностей.

Определение 2. Поверхность называется цилиндрической, если она вместе с каждой своей точкой содержит прямую, параллельную некоторому фиксированному ненулевому вектору.

Прямые цилиндрической поверхности, параллельные указанному вектору, называются ее образующими. Ясно, что любую цилиндрическую поверхность можно определить, выбрав в пространстве кривую g и ненулевой вектор , а затем построить прямые, параллельные , проходящие через точки кривой g (рис. 97). Кривая g называется направляющей цилиндрической поверхности. Простейшей цилиндрической поверхностью является плоскость. Ее направляющей может служить ее любая прямая, а образующие могут быть параллельны произвольному вектору этой плоскости, который не параллелен направляющей прямой.

Теорема 2. Пусть образующие цилиндрической поверхности параллельны оси аппликат прямоугольной декартовой системы координат , а ее направляющая принадлежит координатной плоскости Оху и имеет уравнение в системе координат этой плоскости. Тогда это же уравнение является уравнением всей поверхности в системе координат пространства.

Доказательство. Выберем произвольную точку , принадлежащую данной цилиндрической поверхности. Проведем через нее образующую l, которая пересечет направляющую g в некоторой точке (рис. 98). Так как образующая параллельна оси Оz, то у точки в системе координаты совпадают с первыми двумя координатами точки М: . Так как принадлежит g, то ее координаты удовлетворяют уравнению . Следовательно, координаты точки М удовлетворяют тому же уравнению.

Обратно, пусть координаты х, у и z некоторой точки М удовлетворяют уравнению . Покажем, что она лежит на данной цилиндрической поверхности. Проведем через М прямую l, параллельную оси аппликат и обозначим через точку пересечения l с плоскостью Оху. Координаты точки в системе равны: . Но по условию х и у удовлетворяют уравнению кривой g: . Поэтому лежит на направляющей g, следовательно, l ‑ образующая цилиндрической поверхности. Данная точка М лежит на этой поверхности. Теорема доказана.

С помощью этой теоремы можно описать все вещественные цилиндрические поверхности второго порядка. Для этого на плоскости Оху в качестве направляющей выберем кривую второго порядка, а образующие этой поверхности будут параллельны оси аппликат.

1) Эллиптический цилиндр: .

2) Гиперболический цилиндр: .

3) Параболический цилиндр: .

4) Цилиндрическая поверхность, представляющая собой пару плоскостей, пересекающихся на оси Оz: .

5) Цилиндрическая поверхность, представляющая собой пару параллельных плоскостей: .

6) Цилиндрическая поверхность, представляющая собой пару слившихся параллельных плоскостей: .

На рисунках 99 а) - в) изображены эллиптический, гиперболический и параболический цилиндры.

Рассмотрим свойства вещественной конической поверхности второго порядка.

Определение 3. Поверхность р называется конической, если для нее можно указать такую точку О, для которой прямая, проходящая через нее и любую другую точку поверхности, целиком принадлежит p.

Эти прямые называются образующими конической поверхности. Точка, в которой пересекаются все образующие, называется вершиной. Любую коническую поверхность можно построить следующим образом. Выберем в пространстве некоторую кривую g и зафиксируем точку О. Затем через нее и через каждую точку кривой проведем прямые, образующие конической поверхности. В этом случае кривая g называется направляющей этой поверхности (рис. 100). Докажем следующую теорему.

Теорема 3. Поверхность, заданная уравнением

, (1)

является конической с вершиной в начале координат.

Доказательство. Выберем на этой поверхности произвольную точку . Ее координаты удовлетворяют уравнению (25.1): . Если О - начало координат, то координаты вектора равны . Поэтому параметрические уравнения прямой имеют следующий вид:

Возьмем произвольную точку М этой прямой, соответствующей параметру t, и покажем, что ее координаты и удовлетворяют уравнению (1). Действительно, . Таким образом, прямая целиком лежит на поверхности. Теорема доказана.

Уравнение (25.1) называется каноническим уравнением вещественной конической поверхности второго порядка. Построим ее линии уровня на координатных плоскостях. Рассмотрим плоскость Оху. Пусть плоскость сечения имеет уравнение . Тогда уравнение соответствующей линии уровня имеет вид: . При получим: . Этому уравнению соответствует начало системы координат, т.е. вершина конуса. Если , то преобразуем уравнение линии уровня к виду: . Полученное уравнение при любом h, отличном от нуля, определяет эллипс, оси симметрии которого совпадают с осями координат. Отношение его полуосей равно , т.е. не зависит от h. Таким образом, линии уровня на плоскости Оху представляют собой множество подобных между собой эллипсов, имеющих одни и те же оси симметрии, причем с увеличением h полуоси эллипсов бесконечно возрастают (рис. 101, а).

Рассмотрим теперь сечения поверхности плоскостью , параллельной координатной плоскости Oxz. Линия уровня на плоскости определяется уравнением: . Если , то линия уровня определяется уравнением т.е. представляет собой две прямые ‑ образующие конической поверхности. Пусть . Преобразуем уравнение к виду: . В этом случае линией уровня является гипербола, для которой оси координат Оz и Ox служат действительной и мнимой осями симметрии, а отношение действительной полуоси к мнимой постоянно, не зависит от h и равно . Поэтому все эти гиперболы имеют одни и те же асимптоты, определяемые уравнениями: , т.е. прямые, которые, в свою очередь, служат линиями уровня конической поверхности при .

Карта линий уровня приведена на рисунке 101, б. Ясно, что аналогичную карту линий уровня получим при пересечении поверхности плоскостями . На рисунке 102 изображена вещественная каноническая поверхность второго порядка, показаны сечения плоскостями, параллельными координатным плоскостям Оху и Oxz.

Интересно отметить следующий факт. Если пересечь коническую поверхность второго порядка плоскостью, параллельной ее образующей, то в сечении образуется парабола. Это сечение изображено на рисунке 103. Эллипс, гиперболу и параболу часто называют коническими сечениями.

Определение 4. Поверхность р называется поверхностью вращения, если для нее можно указать такую прямую l, что она вместе с каждой своей точкой целиком содержит окружность, полученную при вращении этой точки вокруг l.

Прямая l называется осью вращения. Линии, полученные при вращении точек поверхности вокруг оси, называются параллелями поверхности вращения. Если точка не принадлежит l, то параллель, проходящая через нее, представляет собой окружность, если же точка принадлежит l, то параллель - совпадает с самой точкой. Ясно, что плоскости, содержащие параллели поверхности, перпендикулярны ее оси. Кривая, полученная при пересечении поверхности вращения с плоскостью, проходящей через ее ось, называется меридианом этой поверхности. Поверхность можно получить, вращая любой ее меридиан вокруг оси.

Теорема 4. Пусть в пространстве дана прямоугольная декартовая система координат . Если на координатной плоскости Oxz в системе координат задана кривая g своим уравнением: , то уравнение поверхности, полученной при вращении g вокруг оси Оz в системе координат имеют следующий вид:

. (2)

Доказательство. Пусть р - данная поверхность вращения, а - ее произвольная точка (рис. 104). Обозначим через w параллель поверхности р, проходящую через точку М. Она представляет собой окружность. Ее центр находится в точке N оси Оz и радиус равен длине отрезка МN. Так как отрезок MN перпендикулярен оси Оz, то координаты точки N равны: . Поэтому . Пусть w пересекает координатную ось Oxz в точках и . Отрезки и также перпендикулярны оси Оz, точки и симметричны относительно N, поэтому их координаты равны: . Но, . Отсюда следует, что . Таким образом, и имеют следующие координаты: . Одна из этих точек принадлежит кривой w, следовательно, либо , либо . Поэтому координаты точки М удовлетворяют уравнению: .

Обратно, пусть координаты х, у и z некоторой точки М удовлетворяют уравнению (2). Покажем, что она принадлежит поверхности вращения р. Спроектируем М на ось Оz, получим точку N, координаты которой равны: . Построим окружность w с центром в точке N, радиуса , плоскость которой перпендикулярна оси Оz. Эта окружность пересекает координатную плоскость Oxz в точках и . Как ранее было доказано, координаты этих точек равны: . Из уравнения (25.2) следует, что . Если , то и точка лежит на кривой w. Если , то , в этом случае принадлежит w. Таким образом, w ‑ окружность вращения либо точки , либо точки вокруг оси Оz, поэтому она целиком принадлежит поверхности вращения р. Следовательно, на этой поверхности лежит и точка М. Теорема доказана.

Можно доказать, что уравнение поверхности, образованной вращением вокруг оси Оz кривой, принадлежащей плоскости Оуz и определенной в системе уравнением , также совпадает с уравнением (25.2). Аналогично определяются уравнения поверхностей вращения вокруг осей Ox и Оу.

Приведем примеры поверхностей вращения второго порядка

Пример 1. В плоскости Oxz дана прямая, параллельная оси Оz: . Определить уравнение поверхности, образованной вращением прямой вокруг оси Оz.

Решение. Воспользуемся уравнением (25.2). Так как , то уравнение поверхности вращения имеет вид . Эта поверхность, в соответствии с теоремой 2 является цилиндрической. Она носит название кругового цилиндра.

Пример 2. В плоскости Oxz дана прямая, проходящая через начало координат: . Определить уравнение поверхности, образованной вращением этой прямой вокруг оси Оz.

Решение. Как следует из формулы (25.2) искомое уравнение имеет вид: , или . Полученная поверхность является конической (см. теорему 3). Ее называют круговым конусом.

Пример 3. В плоскости Охz дан эллипс: . Определить уравнение, полученное при его вращении вокруг оси Оz.

Решение. Так как эллипс, определенный своим каноническим уравнением, симметричен относительно начала координат, то для построения поверхности достаточно вращать вокруг оси Оz только его половину, для точек которой абсциссы больше или равны 0. Эта часть эллипса определена уравнением: . Из формулы (2) следует, что уравнение искомой поверхности можно записать в виде: или . Такая поверхность называется эллипсоидом вращения. Она представлена на рисунке 105.

Пример 4. В плоскости Oxz дана гипербола: . Определить уравнение поверхности, полученной при вращении вокруг оси Оz.

Решение. Как следует из уравнения гиперболы, она пересекает ось Ox и не пересекает ось вращения Оz. Исходя из ее свойств симметрии для построения поверхности будем вращать только одну ветвь гиперболы, для точек которой абсцисса положительна. Уравнение этой ветви можно представить в виде: . Используя (2), получим уравнение искомой поверхности вращения , или . Такая поверхность называется однополостным гиперболоидом вращения (рис. 106).

Пример 5. В плоскости Oxz дана гипербола: . Определить уравнение поверхности, полученной при ее вращении вокруг оси аппликат.

Решение. Данная гипербола пересекает ось Оz и не пересекает оси Ox. Из соображений симметрии будем вращать только ту часть гиперболы, точки которой имеют положительную абсциссу. Уравнение этой части представим в виде: . Поэтому из (2) следует, что уравнение служит уравнением искомой поверхности. Преобразуем его к виду: . Полученная поверхность называется двуполостным гиперболоидом вращения (рис. 107).

Пример 6. В плоскости Oxz дана парабола .

Найти уравнение поверхности, полученной при ее вращении вокруг оси Оz.

Решение. Искомую поверхность можно получить, вращая только одну ветвь параболы, определенную уравнением . Из (2) следует, что уравнение поверхности имеет вид: .

Эта поверхность называется эллиптическим параболоидом вращения. Она изображена на рисунке 108.

Поиск по сайту: