Путь и перемещение. Векторный способ задания движения точки

Векторный способ задания движения точки.

Пусть точка М движется по отношению к некоторой си­стеме отсчета Oxyz. Положение этой точки в любой момент времени можно определить, задав ее радиус-вектор , проведенный из на­чала координат О в точку М (рис. 3).

Рис.3

При движении точки М вектор будет с течением времени изме­няться и по модулю, и по направлению. Следовательно, является переменным вектором (вектором-функцией), зависящим от аргу­ментаt:

Равенство определяет закон движения точки в векторной форме, так как оно позволяет в любой момент времени построить соответствующий вектор и найти положение движущейся точки.

Геометрическое место концов вектора , т.е. годограф этого вектора, определяет траекторию движущейся точки.

2. Координатный способ задания движе­ния точки.

Положение точки можно непосредственно опре­делять ее декартовыми координатами х, у, z (рис.3), которые при движении точки будут с течением времени изменяться. Чтобы знать закон дви­жения точки, т.е. ее положение в пространстве в любой момент вре­мени, надо знать значения координат точки для каждого момента времени, т.е. знать зависимости

x=f₁(t), y=f₂(t), z=f₃(t).

Уравнения представляют собой уравнения движения точки в прямоугольных декартовых координатах. Они определяют закон движения точки при координатном способе задания движения.

Чтобы получить уравнение траектории надо из уравнений движения исключить параметр t.

Нетрудно установить зависимость между векторным и координатным способами задания движения.

Разложим вектор на составляющие по осям координат:

где r_x, r_y, r_z - проекции вектора на оси; – единичные векторы направленные по осям, орты осей.

Так как начало вектора находится в начале координат, то проекции вектора будут равны координатам точки M. Поэтому

Пример 1. Движение точки задано уравнениями

Рис.4

Чтобы исключить время, параметр t, найдём из первого уравнения sin2t=x/2, из второго cos2t=y/3. Затем возведём в квадрат и сложим. Так как sin²2t+cos²2t=1, получим . Это уравнение эллипса с полуосями 2 см и 3 см (рис.4).

Начальное положение точки M ₀ (при t =0) определяется координатами x₀=0, y₀=3 см.

Через 1 сек. точка будет в положении M ₁ с координатами

x₁=2sin2=2∙0,91=1,82 см, y₁=2cos2=3∙(-0,42)= -1,25 см.

Примечание.

Движение точки может быть задано с помощью и других координат. Например, цилиндрических или сферических. Среди них будут не только линейные размеры, но и углы. При необходимости, с заданием движения цилиндрическими и сферическими координатами можно познакомиться по учебникам.

3. Естественный способ задания движе­ния точки.

Рис.5

Естественным способом задания движения удобно пользоваться в тех слу­чаях, когда траектория движущейся точки известна заранее. Пусть кривая АВ явля­ется траекторией точки М при ее движении относительно системы отсчета Oxyz (рис.5) Выберем на этой траектории какую-нибудь неподвижную точку О', которую примем за начало отсчета, и установим на траектории положительное и отрицатель­ное направления отсчета (как на координат­ной оси).

Тогда положение точки М на тра­ектории будет однозначно определяться криволинейной коорди­натой s, которая равна расстоянию от точки О’ до точки М, изме­ренному вдоль дуги траектории и взятому с соответствующим знаком. При движении точка М перемещается в положения M ₁, М ₂,.... следовательно, расстояние s будет с течением времени изменяться.

Чтобы знать положение точки М на траектории в любой момент времени, надо знать зависимость

s=f(t).

Уравнение выражает закон движения точки М вдоль тра­ектории.

Пример 2. Точка движется по прямой линии, по закону s=2t+3 (см) (рис. 6).

Рис.6

В начале движения, при t=0 s=OM₀=s₀=3 см. Положение точки M ₀ назы­вается начальным положением. При t=1 с, s=OM₁=5 см.

Конечно, за 1 сек. точка прошла расстоя­ние M ₀ M ₁ = 2см.Так что s – это не путь пройденный точ­кой, а расстояние от начала отсчёта до точки.

Путь и перемещение

Путь s - скалярная физическая величина, определяемая длиной траектории, описанной телом за некоторый промежуток времени. Путь всегда положителен: s> 0.

Перемещение тела за определенный промежуток времени - направленный отрезок прямой, соединяющий начальное (точка М₀) и конечное (точка М) положение тела (см. рис. 2):

,

где и — радиус-векторы тела в эти моменты времени.

Проекция перемещения на ось Ох: ∆r_x =∆х = х-х₀, где x₀ и x - координаты тела в начальный и конечный моменты времени.

Модуль перемещения не может быть больше пути: ≤s.

Знак равенства относится к случаю прямолинейного движения, если направление движения не изменяется.

Зная перемещение и начальное положение тела, можно найти его положение в момент времени t:

Поиск по сайту: