АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Допускающие понижение порядка

Читайте также:
  1. V2: ДЕ 54 - Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
  2. Апериодическое звено второго порядка.
  3. Вопрос: Действия с матрицами. Определители второго и третьего порядка.
  4. Вопрос: Основные пути укрепления законности и правопорядка.
  5. Вопрос: Понятие правопорядка. Правопорядок и общественный порядок
  6. Дифференциальные уравнения первого порядка.
  7. Дифференциальные уравнения первого порядка.
  8. Законность: понятие, признаки, гарантии. Основ.пути укрепления законности и правопорядка.
  9. Краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения 2- го порядка.
  10. Линейное дифференциальное уравнение первого порядка.
  11. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

I. Уравнения вида y′′ = f(x)

решается последовательным двукратным интегрированием. При каждом интегрировании получается одна произвольная постоянная, а общее решение содержит две константы.

Пример 10. 5. Найти общее решение дифференциального уравнения

y''=sin3x.

Решение. Последовательно интегрируя данное уравнение, получим

.

II. Уравнение второго порядка, не содержащее искомой функции

Уравнение вида F(x, y', y'') = 0 допускает понижение порядка введением новой функции, следующим образом y'= p(x), тогда y''= p'(x).

Пример 10.6. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Решение. Данное уравнение не содержит функции у, поэтому положим

y'= p(x), тогда y''= p'(x) и уравнение примет вид:

Получили однородное уравнение первого порядка. Для его решения воспользуемся подстановкой p=ux, тогда p'= u'x+u и, следовательно, приходим к уравнению

откуда .

Возвращаясь к функции у, получаем общее решение

или .

Это уравнение с разделяющимися переменными

Интеграл, стоящий в правой части уравнения интегрируем по частям:

= .

Окончательно получаем: .

III. Уравнения второго порядка, не содержащие независимой переменной

Уравнение F(y, y', y'') = 0 при помощи подстановки y'= p(y) уравнение сводиться к уравнению первого порядка

F(y, p, p ) = 0.

Пример 10.7. Найти частное решение дифференциального уравнения

2yy'3+y''=0, удовлетворяющее начальным условиям y(0)=0, y'(0)=-3.

Решение. Это уравнение не содержит независимой переменно, следовательно, будем его решать, полагая y'= p(y), откуда . Используя данные подстановки преобразуем данное уравнение к виду

.

Интегрируя, получим .

Получили дифференциальное уравнение первого порядка

, (*)

Решая которое получим: .

Итак, общий интеграл дифференциального уравнения имеет вид:

Найдем частный интеграл, для этого в общий интеграл и в уравнение (*) подставим начальные условия y(0)=0, y'(0)=-3. Получаем систему двух уравнений для определения постоянных С1 и С2.

.

Таким образом, искомое частное решение имеет вид y3 – y= 3x.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.003 сек.)