АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Читайте также:
  1. A) линейные
  2. II ОБЩИЕ НАЧАЛА ПУБЛИЧНО-ПРАВОВОГО ПОРЯДКА
  3. II. САКРАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ: МЕТАФОРА УНИВЕРСАЛЬНОГО ПОРЯДКА
  4. IV.1. Общие начала частной правозащиты и судебного порядка
  5. V2: ДЕ 11 - Векторные пространства. Линейные операции над векторами
  6. V2: ДЕ 4 – Линейные отображения. Линейные операции над матрицами
  7. V2: ДЕ 5 - Линейные отображения. Умножение матриц
  8. V2: ДЕ 53 - Способы решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
  9. V2: ДЕ 54 - Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
  10. V2: ДЕ 57 - Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения
  11. V2: ДЕ 6 - Линейные отображения. Определители второго порядка
  12. V2: Применения уравнения Шредингера

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение

y'' + py' +qy = 0

где p и q – числа.

Для того, чтобы решить это уравнение надо составить характеристическое уравнение, которое получается из данного уравнения, если в нем заменить y"=k2, y'=k, a y=k0=1.

k2 + pk + q = 0 -

- это квадратное уравнение.

Общее решение характеристического уравнения строиться в зависимости от характера его корней.

Возможны три случая:

- дискриминант квадратного уравнения больше нуля D > 0, уравнение имеет два действительный различных корня, k1≠ k2,и общее решение характеристического уравнения имеет вид:

 

- дискриминант характеристического квадратного уравнения равен нулю D= 0,уравнение имеет два действительный кратных корня, k1= k2= k,и общее решение уравнения имеет вид:

 

- дискриминант квадратного уравнения меньше нуля D < 0,уравнение имеет пару комплексно сопряженных корней, k1,2= α ± βi, иобщее решение уравнения имеет вид:

Пример 10.8. Найти общее решение дифференциального уравнения

y"+7y'+6y=0.

Решение. Составим характеристическое уравнение

 

k2+7k+6=0.

 

Решим его: D=49-24=25, k1= -1, k2 = -6. Так как корни действительные и разные, то, согласно формулы, получаем общее решение:

 

y = C1e-x + C2e-6x.

Пример 10.9. Найти общее решение дифференциального уравнения

y"-6y'+9y=0.

Решение. Составим характеристическое уравнение

 

k2 - 6k +9=0.

 

Решим это уравнение: D = 36 -36 = 0, k1 = k2 =3. Характеристическое уравнение имеет два действительных кратных корня, следовательно, общее решение находим по формуле:

y = (C1x + C2)e3x.

Пример 10.10. Найти общее решение дифференциального уравнения

y"-4y'+13y=0.

Решение. Составим характеристическое уравнение

k2 – 4k +13 = 0.

Решим его. Дискриминант квадратного уравнения меньше нуля, D=-36,уравнение имеет пару комплексно сопряженных корней, k1,2=

(α=2, β=3) иобщее решение уравнения имеет вид:

y = e2x(C1cos3x + C2sin3x).

Пример 10.11. Найти частное решение дифференциального уравнения

y"-5y'+4y=0, удовлетворяющее начальным условиям у'(0)=8, у(0)=5.

Решение. Сначала найдем общее решение, для этого составим

характеристическое уравнение

k2 – 5k +4 = 0.

Дискриминант этого уравнения D=1,следовательно, уравнение имеет два действительный корня, k1 = 2, k2 = 3 и общее решение уравнения имеет вид:

y = С1e2x +C2e3x.

 

Чтобы найти частное решение, сначала найдем у'=2С1e2x +3C2e3x, а затем подставим в общее решение и в производную от функции-решения у начальные условия и получим систему для определения постоянных С1 и С2.

 

.

 

Решив систему получили С1=7, С2 = -2.

Таким образом искомое частное решение имеет вид: y =7e2x – 2e3x.

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)