Матриця переходу від одного базису до іншого. Перетворення координат. Формули паралельного перенесення і повороту

Розглянемо у просторі два ортонормованих базиси і , а також пов’язані з ними системи координат і (Рис.22.1):

Рис 22.1

Кожен з векторів може бути розкладеним по векторам

З координат цих векторів у базисі можна скласти матрицю:

Матриця називається матрицею переходу від базису до базису . За допомогою цієї матриці формули можна переписати у вигляді:

Елементами матриці переходу є косинуси кутів, що утворюють вектори з осями системи координат . Дійсно,

В цих формулах ‑ кути між векторами і координатними осями .

Оскільки вектори утворюють ортонормований базис, то з випливають рівності:

За допомогою можна безпосередньо перевірити, що

,

де ‑ одинична матриця .

Остання рівність означає, що для матриці переходу завжди існує обернена, яка дорівнює транспонованій матриці переходу:

Тому з знаходимо

Формули - значно спрощуються у випадку координатної площини (Рис.22.2).

Рис 22.2

Нехай ‑ кут між вектором і віссю . Тоді з знаходимо

Отже, матриця переходу дорівнюватиме

Зв'язок між двома базисами здійснюється за формулами:

Матриця переходу необхідна для встановлення зв’язку між координатами точки у різних системах координат. Нехай точка у системі має координати , а у системі ‑ координати . Відносно точки припустимо, що її координати у системі є числа . Розглянемо вектори

Як можна бачити (Рис.23.1), , тому

.

Скористаємось формулою:

З останньої рівності випливає:

Внаслідок транспонування обох частин і врахування остаточно знаходимо:

Покоординатний запис має вигляд:

Якщо переписати у вигляді

і помножити обидві частини на матрицю переходу , враховуючи що то отримаємо наступні формули:

Формули, називаються формулами перетворення координат.

Розглянемо важливі частинні випадки цих формул. Нехай вісі систем координат і взаємно паралельні і однаково спрямовані, тобто система отримана з паралельним перенесенням у точку . У цьому випадку матриця переходу ‑ одинична. Тому формули, набувають вигляд

Формули називаються формулами паралельного перенесення систем координат.

Далі розглянемо системи координат і , початкові точки яких збігаються. У цьому випадку може бути отримана з шляхом повороту і . Тоді формули і перетворюються наступним чином

Ці формули називаються формулами повороту системи координат.

При переході до координатної площини, з і маємо:

Формули пропонується вивести самостійно.

Поиск по сайту: