 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Рассмотрим систему линейных уравнений
ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. ТЕОРИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
Определители n-го порядка.
Рассмотрим систему линейных уравнений
,
где aij -коэффициенты при неизвестных, bj - свободные члены.
В школьном курсе алгебры рассматривается решение систем линейных уравнений с 2 и 3 неизвестными. Обобщением этой задачи является задача решения системы s линейных уравнений с n неизвестными. Решение этой задачи приводит нас к необходимости введения новых понятий.
Определение. Таблицу, составленную из коэффициентов при неизвестных, принято называть матрицей системы.
Обозначается
A= 
.
Матрица А состоит из s строк и n столбцов. Будем называть такую матрицу прямоугольной размера s´n. Если s=n, то матрицу будем называть квадратной.
Пусть А - квадратная матрица размера n´n
A= , aij ÎC.
Определение. Определителем n-го порядка, соответствующим квадратной матрице А, называется сумма n! слагаемых, имеющая вид
,
где tk - произведение n элементов матрицы А, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, а sk - есть общее число инверсий, содержащихся в подстановке из первых и вторых индексов элементов, входящих в произведение tk.
Обозначается определитель следующим образом
½А½=D= 
, где tk= 
, а sk - есть общее число инверсий, содержащихся в подстановке
.
Примеры.
3) Вычислить определитель матрицы
А= 
.
Воспользуемся формулой (2)
½А½=3´1´8+2´5´(-1)+6´7´4-4´1´(-1)-2´6´8-5´7´3=24-10+168+4-96-105=-15
Рассмотрим правило вычисления определителей 2-го порядка.
Пусть дан определитель 
. Так как порядок определителя равен 2, то число слагаемых будет равно 2!=2. По определению:
.
Таким образом, 
, то есть определитель второго порядка равен разности произведений элементов главной и побочной диагоналей.
Пусть дан определитель 
. Так как порядок определителя равен 3, то число слагаемых будет равно 3!=6. По определению:
Это правило вычисления определителей третьего порядка получило название «правило треугольника». Схематично оно может быть представлено следующим образом:
красные «треугольники» берут со знаком «+», синие – со знаком «-».
Свойства определителей n-го порядка.
Определение. Если в определителе n-го порядка строки заменить столбцами с теми же номерами, а столбцы строками с теми же номерами, то такое преобразование определителя называется транспонированием, а определитель, полученный из данного в результате транспонирования, называется транспонированным по отношению к данному.
Так, если
Dn = 
,
тогда транспонированный определитель имеет вид
D¢n= 
.
Определение. Элементы a11, a22,..., ann называются диагональными, а соответствующее расположение этих элементов называется главной диагональю. (Элементы a1n, a22,..., an1 образуют побочную диагональ).
Свойство 1. Определитель не меняется при транспонировании.
Следствие. В определителе n-го порядка строки и столбцы равноправны. в дальнейшем будем формулировать и доказывать свойства только для строк, учитывая, что для столбцов будут выполняться те же свойства.
Свойство 2. Если одна из строк определителя состоит из нулей, то определитель равен 0.
(Доказательство в качестве упражнения)
Свойство 3. Если в определителе n-го порядка поменять местами две строки, то определитель изменит знак.
Свойство 4. Определитель, имеющий две одинаковые строки, равен 0.
(Доказательство в качестве упражнения)
Свойство 5. Если все элементы некоторой строки определителя умножить на некоторое число k, то сам определитель изменится в k раз.
(Доказательство в качестве упражнения)
Свойство 6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен 0.
(Доказательство в качестве упражнения)
Свойство 7. Если элементы какой-либо строки определителя представить в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, в первом из которых элементы отмеченной строки равны первым слагаемым, а во втором - вторым.
Определение. Говорят, что i-ая строка определителя D есть линейная комбинация остальных строк, если существуют такие числа k1, k2,..., kn, что умножая каждую строку на соответствующее ki и складывая умноженные строки, мы получим i строку определителя D, то есть
ai1= k1a11+k2a21+... +knan1
..........................................
ain= k1a1n+k2a2n+... +knann Миноры и алгебраические дополнения
Определение. Если в определителе n-го порядка выбрать произвольно k строк и k столбцов, то элементы, стоящие на пересечении указанных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу порядка k. Определитель такой квадратной матрицы называют минором k-го порядка.
Обозначается Mk . Если k=1, то минор первого порядка - это элемент определителя.
Элементы, стоящие на пересечении оставшихся (n-k) строк и (n-k) столбцов, составляют квадратную матрицу порядка (n-k). Определитель такой матрицы называется минором, дополнительным к минору Mk (Обозначается Mn-k).
Алгебраическим дополнением минора Mk будем называть его дополнительный минор, взятый со знаком “+” или “-” в зависимости от того, четна или нечетна сумма номеров всех строк и столбцов, в которых расположен минор Mk.
Если k=1, то алгебраическое дополнение к элементу aik вычисляется по формуле
A ik=(-1)i+k M ik, где M ik - минор (n-1) порядка.
Теорема. Произведение минора k-го порядка на его алгебраическое дополнение равно сумме некоторого числа членов определителя Dn.
Теорема Лапласа. Если в определителе n-го порядка выбрать произвольно k строк (или k столбцов) 1£k£n-1, тогда сумма произведений всех миноров k-го порядка, содержащихся в выбранных строках, на их алгебраические дополнения равна определителю D.
Следствие. (теорема о разложении определителя по строке)
Сумма произведений элементов некоторой строки определителя на соответствующие алгебраические дополнения равна определителю.
(Доказательство в качестве упражнения).
Теорема. Сумма произведений элементов i-ой строки определителя на соответствующие алгебраические дополнения к элементам j-ой строки (i¹j) равна 0.
(Доказательство в качестве упражнения).
Таким образом, мы получили формулы
Аналогично
Пример 1. Вычислить определитель по теореме Лапласа (предварительно разложив его по 2 и 3 строкам).
D= 
= 
=
= 
+ 
=(4+3)(-9-0) - (8-3)(0-20) + (12-6)(0-15) + (-4-2)(-3-16) - (-6-4)(0-12) + (6-8)(5-0)= = -63+100-90+114-120-10=-69.
Пример 2. Вычислить определитель, разложив его по последнему столбцу.
7 
+ 
= -7(25 + 0 + 16 + 12 - 60 - 0) + 3(50 + 0 - 24 + 16 - 0 + 90) - (100 + 0 + 24 + 32 - 0 + 75) + 4(-40 + 20 - 54 - 48 - 30 - 30) = 49 + 396 - 231 - 182 = 32.
Замечание. Удобно применять следствие из теоремы Лапласа к определителю, преобразованному с помощью свойств таким образом, что в одной из строк (или в одном из столбцов) все элементы, кроме одного, равны 0.
Пример. Вычислить определитель
= -12 -14 +35 -147 -20 -2= -160.
действия над квадратными матрицами.
Рассмотрим множество квадратных матриц
Введем на множестве Т операции сложения и умножения следующим образом
"A,BÎT (A+B)=С, где 
, i=1,2,...,n, j=1,2,...,n.
"A,BÎT (A´B)=С, где 
i=1,2,...,n, j=1,2,...,n, то есть элемент, стоящий на пересечении i строки и j столбца матрицы С, получен как сумма произведений элементов i строки матрицы А на соответствующие элементы j столбца матрицы В.
Пример. Найти сумму и произведение матриц
и 
.
По определению суммы матриц имеем
По определению произведения матриц имеем
, 
Из приведенного примера видно, что умножение матриц не коммутативно.
Теорема. Операция сложения матриц ассоциативна, коммутативна и обратима.
Теорема. Операция умножения матриц ассоциативна, но не коммутативна.
Возникает вопрос: существуют ли обратимые матрицы и если да, то какие? Попробуем найти ответ на этот вопрос.
Теорема (об определителе произведения матриц).
Определитель произведения матриц равен произведению определителей перемножаемых матриц. ½AB½=½A½½B½.
Определение. Квадратная матрица, определитель которой отличен от 0, называется невырожденной. Квадратная матрица, определитель которой равен 0, называется вырожденной.
Следствие 1. Вырожденная матрица не обратима.
(Доказательство самостоятельно).
Следствие 2. Произведение невырожденных матриц есть невырожденная матрица.
(Доказательство самостоятельно).
Следствие 3. Для каждой невырожденной квадратной матрицы А порядка n существует квадратная матрица А¢, называемая обратной, такая что АА¢= А¢А =Е. где Е – единичная матрица.
алгоритм вычисления обратной матрицы:
1) вычислить определитель матрицы ½A½=D;
2) найти алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы;
3) все элементы матрицы заменить их алгебраическими дополнениями;
4) транспонировать полученную матрицу;
5) разделить все элементы матрицы на D, получим матрицу А-1.
Пример. Вычислить матрицу, обратную матрице
А= 
.
Найдем определитель матрицы А
½A½= 
=12+0-2-0+3-8=5
Умножение прямоугольных матриц.
Пусть А и В - прямоугольные матрицы, А размера s´n и В размера t´m.
, 
.
Правило умножения, введенное для квадратных матриц будет верно и для прямоугольных, если n=t, то есть если число столбцов в левом сомножителе совпадает с числом строк в правом сомножителе. Матрица С=АВ будет иметь s строк и m столбцов.
Пример.
1) 
2) 
Так же, как при умножении квадратных матриц, элемент cij , стоящий на пересечении i строки и j столбца матрицы С, получается как сумма всех произведений элементов i строки матрицы А на соответствующие элементы j столбца матрицы В. Закон ассоциативности справедлив и для умножения прямоугольных матриц.
§8 Правило Крамера.
Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными, причем определитель системы отличен от 0.
(1)
Перепишем эту систему в матричной форме, если
; 
; 
тогда систему (1) можно записать в матричном виде, то есть
AX=B (2)
Так как матрица А невырожденная, тогда для нее существует обратная. Умножив обе части уравнения (2) на А-1, получим
A-1(AX)=A-1BÞ (A-1A)C=A-1B Þ C=A-1B (3)
Покажем, что Х - решение уравнения (2)
A(A-1B)= (AA-1)B=ЕВ=В Û B=B
Так как для любой невырожденной матрицы существует единственная обратная, то решение системы уравнений (1), записанной в матричной форме (2), однозначно определяется формулой (3). Любой элемент матрицы столбца, стоящей в правой части формулы (3) имеет вид
Получим формулы Крамера в общем виде, где
то есть определитель, полученный из D заменой j столбца столбцом свободных членов.
Пример. Решить систему уравнений
Запишем в матричном виде AX=B, где
А= 
; X= 
; B= 
Найдем определитель матрицы А
½A½= 
=-1; 
=-1; А12=- 
=-1; А13= 
=1;
А21=- 
=4; А22= 
=5; А23=- 
=-6; А31= 
=3; А32=- 
=3; А33= 
=-4; А= ® 
® 
=А-1
Х=А-1В= 
= 
Û Х1=1; Х2=-1; Х3=2
Решим ту же систему по формуле Крамера. D=-1
D1= 
=-1; D2 = 
=1; D3= 
=-2
x 1= 
=1; x 2= 
=-1; x 3= 
=2.
Системы линейных уравнений.
Переходим к изучению произвольных систем линейных уравнений, причем число неизвестных не обязательно равно числу уравнений.
Пусть дана система s линейных уравнений с n неизвестными
(1)
Рассмотрим матрицы
А - составленную из коэффициентов, и 
- расширенную матрицу, полученную из А добавлением столбца свободных членов
, 
(2)
Вычислим ранг этих матриц. Пусть rang A=r, тогда по определению, максимальная линейно независимая система векторов-столбцов содержит r векторов. Поэтому возможны только 2 случая:
1) если вектор-столбец из свободных членов линейно выражается через эти r векторов, то rang A= rang
2) если добавление вектора-столбца из свободных членов меняет ранг матрицы, тогда rang = rang A+1.
Теорема Кронекера-Капелли. Система векторов (1) совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы А.
Мы рассмотрели критерий совместности систем линейных уравнений, который позволяет ответить на вопрос, имеет ли данная система решение или нет. Вообще для любой системы верно лишь одно из следующих утверждений:
1) система несовместна;
2) система имеет единственное решение;
3) система имеет бесчисленное множество решений.
Рассмотрим метод, позволяющий не только определить, будет ли система совместна, но и найти решение.
Определение. Две системы уравнений S1 и S2 называются равносильными, если каждое решение системы S1 является решением системы S2 и наоборот (то есть множества их решений совпадают, причем если одна из них несовместна, то и вторая несовместна).
Определение. Следующие преобразования систем линейных уравнений будем называть элементарными:
1) вычеркивание уравнений вида
0x1+0x2+...+0xn=0;
2) прибавление к обеим частям одного из уравнений системы соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое число с;
3) изменение нумерации неизвестных (к этому способу будем обращаться реже, чем к двум другим).
Предложение. В результате элементарных преобразований системы линейных уравнений получим систему, равносильную данной.
Метод Гаусса.
Рассмотрим систему s линейных уравнений с n неизвестными
(1)
1. Если среди уравнений системы есть уравнения вида 0x1+0x2+...+0xn=bk, где bk¹0, то система уравнений (1) несовместна.
2. Пусть в каждом уравнении системы есть хотя бы по одному отличному от 0 коэффициенту. Если a11 =0, то перенумерацией неизвестных добьемся, чтобы первый коэффициент был отличен от нуля. Таким образом, можем считать, что a11 ¹0,.
Исключим теперь слагаемые, содержащие х1 из всех остальных уравнений. Для этого к каждому i- ому (i=2,...,n) уравнению прибавим первое, умноженное на 
(i=2,...,n).
В результате таких преобразований получим систему
(2)
Системы уравнений (1) и (2) равносильны, так как вторая получена из первой с помощью элементарных преобразований.
Продолжим аналогичные рассуждения для переменной х2 (начиная со второго уравнения).
Если в системе уравнений в результате преобразований появились уравнения вида 0x1+0x2+...+0xn=0, то их отбрасываем, а если появилось уравнение вида 0x1+0x2+...+0xn=bk, где bk¹0, то система уравнений (2), а следовательно и равносильная ей система уравнений (1) несовместна.
Если система (2) не содержит уравнений вида 0x1+0x2+...+0xn=bk, где bk¹0, то будем считать, что a22¹0 и исключим х2 из всех оставшихся уравнений, прибавляя к каждому i- тому (i=3,...,n) уравнению прибавим второе, умноженное на 
(i=3,...,n). Получим систему уравнений
(3)
Эта система содержит k уравнений (k£s), так как могут быть отброшены уравнения вида 0x1+0x2+...+0xn=0. Аналогично исключаем х3 из всех уравнений, начиная с третьего и так далее. Так как система содержит конечное число уравнений, то процесс исключения неизвестных конечен. То есть через некоторое число шагов мы получим систему уравнений
(4)
Здесь a11 ¹0, a22¹0,..., 
, k£s, и, очевидно, k£n.
В этом случае система уравнений (4), и, следовательно, система уравнений (1), совместна, причем, если k=n, то система имеет единственное решение, а если k<n, то система уравнений имеет бесконечное множество решений.
Действительно, если k=n, то система имеет вид
(5)
Так как 
, то из последнего уравнения системы (5) найдем xn, подставим найденное значение во все остальные уравнения системы и из предпоследнего уравнения найдем xn-1 и так далее. Все переменные определяются однозначно и система (5) и, следовательно, система уравнений (1), имеет единственное решение.
Если k<n, то система уравнений имеет (4). Неизвестные хk+1, xk+2,...,xn, объявляем свободными. Этим переменным можно присвоить любые значения и поднимаясь по системе (4) снизу вверх, найти значения остальных переменных, которые для данного набора свободных переменных определяются однозначно. Таким образом, давая различные значения свободным переменным хk+1, xk+2,...,xn, получим все решения системы.
Вывод. Метод Гаусса применим к решению любой системы линейных уравнений. При этом система (1) будет несовместной, если в процессе преобразований получится уравнение вида 0x1+0x2+...+0xn=bk, где bk¹0, или система будет совместной. Совместная система имеет единственное решение, если k=n, и будет иметь множество решений, если k<n.
Замечание 1. Однородная система уравнений всегда совместна, так как в ней не может быть уравнений вида 0x1+0x2+...+0xn=bk, где bk¹0. Она всегда имеет нулевое решение, а если k<n, то система имеет и ненулевые решения.
Замечание 2. На практике все преобразования производят не над уравнениями системы, а над строками расширенной матрицы системы.
Пример.
Выпишем расширенную матрицу системы и приведем ее к диагональному виду
Таким образом получили следующее решение системы линейных уравнений
х1= 0, х2 =2, х3 =1/3, х4 =-1,5.
Поиск по сайту: