Матрицы и действия над ними

Элементы линейной алгебры

Методы матричной алгебры широко используются не только в нормативных экономико-математических моделях, но и в статистических расчетах с обработкой больших массивов информации. Матричное исчисление применяется при анализе межотраслевого баланса, матрицы широко используются при анализе взаимозависимых регрессионных уравнений регрессии, в факторном и дисперсионном анализах. Универсальный характер матричных выражений позволяет приложить одни и те же методы анализа и к малому, и к большому массивам исходных данных. Количество исходных данных влияет только на объем вычислений, а это в свою очередь определяет продолжительность и стоимость работ. Роль этих факторов стремительно уменьшается в связи с использованием современных электронных вычислительных машин.

Матрицей А = (a_ij)_т,n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов:

Для матрицы А с общими элементами a_ij используют обозначения . Числа a_ij, ; , составляющие данную матрицу, называются ее элементами: i – номер строки матрицы; j – номер столбца.

Если m=n, то матрица называется квадратной порядка n. Квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.

Квадратная матрица, у которой все элементы, лежащие на главной диагонали, равны единице (), а остальные элементы – нулю, называется единичной:

Матрица, состоящая из одной строки, называется вектором-строкой, а матрица, состоящая из одного столбца, – вектором-столбцом.

Две матрицы и равны, если равны их соответствующие элементы, т.е. А = В тогда и только тогда, когда

Над матрицами можно производить ряд операций. Матрицу можно умножить на число. Матрицы одинакового размера можно складывать и вычитать. Матрицу A размером m×k и матрицу B размером k×n можно перемножать, в результате получается матрица C размером m×n.

Суммой двух матриц и называется матрица С = А + В, элементы которой c_ij равны сумме соответствующих элементов a_ij и b_ij матриц А и В.

Сложение матриц обладает следующими свойствами:

• А+В=В+А;
• (А+В)+С=А+(В+С);
• А+0=0+А=А;

Матрица (-А)=(-1)A называется противоположной матрице А. Если матрицы А и В одинаковых размеров, то их разность равна

Пример 1.1.1. Найти сумму АВ матриц

Решение:

Пример 1.1.2. Найти разность АВ матриц

Решение:

Произведением матрицы на число k называется матрица B = kA, элементы которой b_ij равны

Пример 1.1.1. Найти произведение матриц А на число

Решение:

Умножение матрицы на число обладает следующими свойствами:

Произведением матрицы А порядка m×k на матрицу В порядка k×n называется матрица С=АВ порядка m×n, элементы которой равны

Из данного выражения следует правило умножения матриц: чтобы получить элемент, стоящий на пересечении i -й строки и j -го столбца матрицы С, необходимо все элементы i -й строки матрицы А умножить на соответствующие элементы j -го столбца матрицы В и полученные произведения сложить. Перемножать можно лишь матрицы согласованных размеров, т.е. когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.

Правило умножения матриц поясняет следующая схема:

Произведение двух матриц не коммутативно, т.е. в общем случае АВ ≠ ВА. Если АВ = ВА, то матрицы А и В называются коммутативными. Так, единичная матрица Е коммутативна с любой квадратной матрицей того же порядка, причем АЕ = ЕА = А.

Умножение матриц обладает следующими свойствами:

Пример 1.1.1. Найти произведение АВ матриц

Решение:

Пример 1.1.2. Найти произведение АВ матриц

Решение:

Транспонированием матрицы называется замена строк матрицы на ее столбцы с сохранением их порядка (или, что то же самое, замена столбцов матрицы на ее строки). Обозначение транспонированной матрицы: А', А^Т.

Операция транспонирования обладает следующими свойствами:

Пример 1.1.2. Транспонировать матрицу A

Решение:

Любой квадратной матрице А порядка n ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, называемое определителем, или детерминантом, n -го порядка этой матрицы. Начнем с определителей второго и третьего порядков.

Пусть дана матрица

тогда ее определитель второго порядка вычисляется по формуле

Пример 1.1.3. Вычислить определитель матрицы A:

Решение:

Определитель третьего порядка вычисляется по формуле

Пример 1.1.4. Вычислить определитель матрицы В:

Решение:

При n > 3, вычисление определителей n -го порядка производится на основании свойств определителей и следующей теоремы: определитель равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

Алгебраическое дополнение А_ij элемента a_ij равно

где M_ij – минор элемента a_ij, получаемый путем вычеркивания в определителе i -й строки и j -ro столбца.

Минором M_ij, соответствующим элементу a_ij, называется определитель, который получается из данного определителя вычеркиванием i -й строки и j -го столбца, на пересечении которых стоит элемент a_ij. Минор, расположенный в первых строках и в первых столбцах, называется угловым или главным минором.

Свойства определителей:

1. Определитель не изменится, если его транспонировать, т.е. строки записать в столбцы, не меняя их порядка.
2. Если поменять местами две какие-либо строки (столбца) определителя, то он сменит свой знак на противоположный.
3. Если какая-либо строка (столбец) определителя состоит из двух нулей, то определитель равен нулю.
4. Если элементы какой-либо строки (столбца) определителя имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.
5. Если элементы каких-либо двух строк (столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.
6. Определитель не изменится, если элементы некоторой строки (столбца), предварительно умножив на некоторое число, прибавить к соответствующим элементам другой строки (столбца).
7. Сумма произведений элементов некоторой строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) равна нулю.

Теорема о разложении определителя позволяет свести вычисление определителя n -го порядка к вычислению n определителей (n-1)-го порядка. Это разложение тем проще, чем больше нулей в строке (столбце), по элементам которой осуществляется разложение. Поэтому, пользуясь свойствами определителей, следует так преобразовать определитель, чтобы обратить элементы его выбранной строки (столбца) в нули за исключением одного (если определитель не равен нулю).

Пример 1.1.5. Вычислить определитель матрицы А:

Решение:

Выберем элемент a₂₁ = 1 в качестве ведущего и по схеме метода Гаусса получим на месте остальных элементов первого столбца нули. Для этого, умножив на -3 вторую строку, прибавим ее к первой строке, затем прибавим вторую строку к третьей и, наконец, умножив вторую строку на -2 и прибавив ее к четвертой, получим

Разложим полученный определитель по элементам первого столбца. В этом разложении останется лишь одно слагаемое, равное произведению элемента a₂₁ на его алгебраическое дополнение А₂₁, так как все остальные элементы столбца равны нулю. Минор М₂₁ получится, если вычеркнуть в определителе вторую строку и первый столбец, на пересечении которых стоит элемент а₁₂. Наконец, для получения алгебраического дополнения А₂₁ нужно умножить минор М_ij на (-1)²⁺¹ = -1. Таким образом, получим

В последнем определителе выберем элемент а₃₁ = 2 в качестве ведущего и получим на месте остальных элементов первого столбца нули. Для этого третью строку, умножив на 2, прибавим к первой, затем, умножив третью строку на -3, прибавим ко второй. Разложим полученный в результате этих действий определитель по элементам первого столбца, тогда

Вычисляем определитель второго порядка

Если элементы определителя – целые числа, то, можно сделать вывод, что такой определитель равен целому числу.

Квадратная матрица А^-1 называется обратной к матрице А того же порядка, если она удовлетворяет соотношению:

Квадратная матрица А порядка n называется невырожденной (неособенной), если ее определитель отличен от нуля. В противном случае матрица А называется вырожденной (особенной).

Для всякой невырожденной матрицы А = (a_ij) существует единственная обратная матрица, равная

где А* – присоединенная матрица, (i, j)-й элемент которой есть алгебраическое дополнение A_ji элемента а_ij матрицы А:

Свойства обратных матриц:

• 
• 
• где Т – знак транспонирования.

Первый способ нахождения обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений рассмотрим на примере.

Пример 1.1.6. Вычислить обратную матрицу для матрицы А:

Решение:

Вычислим определитель матрицы А

Так как то для данной матрицы существует обратная матрица. Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы А.

Получим обратную матрицу

Полезно, найдя обратную матрицу А^-1, проверить правильность вычислений подстановкой А^-1 в равенство

Рассмотренный способ нахождения обратной матрицы практически не применяется для случаев n > 3 ввиду большого числа арифметических действий. Значительно экономнее способ, использующий метод Гаусса. Обратную матрицу можно вычислить на основании следующих элементарных преобразований над строками матрицы:

• перемена местами двух строк;
• умножение строки матрицы на любое число, отличное от нуля;
• прибавление к одной строке матрицы другой строки, умноженной на любое число, отличное от нуля.

Для того чтобы вычислить обратную матрицу для матрицы А, необходимо составить матрицу , затем путем элементарных преобразований привести матрицу А к виду единичной матрицы Е, тогда на месте единичной матрицы получим матрицу А ^-1.

Пример 1.1.7. Вычислить обратную матрицу для матрицы А:

Решение:

Составим матрицу вида

Элемент b₁₁ = 1 и первую строку, содержащую данный элемент, назовем направляющими. Осуществим элементарные преобразования, в результате которых первый столбец преобразуется в единичный столбец с единицей в первой строке. Для этого ко второй и третьей строкам прибавим первую строку, соответственно умноженную на 1 и -2. В результате данных преобразований получим матрицу

В полученной матрице преобразуем в единичный второй столбец. В качестве направляющего элемента выберем элемент b₂₂ = 3. Так как направляющий элемент не равен 1, то разделим вторую (направляющую) строку на 3. Затем к первой строке прибавим вторую, умноженную на -3. Получим матрицу

В полученной матрице преобразуем в единичный третий столбец. В качестве направляющего элемента выбираем элемент b₃₃ = 4. Делим направляющую (третью) строку на 4 и ко второй строке прибавляем третью, умноженную на . Получим матрицу

откуда

Поиск по сайту: