Однородной системы линейных уравнений

Пусть – вектор-решения системы (8), а – некоторые числа. Тогда выражение вида называется линейной комбинацией вектор-решений системы.

Определение 9. Вектор-решения называются линейно зависимыми, если хотя бы одно из них является линейной комбинацией остальных. В противном случае, вектор-решения называются линейно независимыми.

Вектор-решения системы линейных однородных уравнений обладает следующими свойствами.

Лемма 1. Любая линейная комбинация конечного числа вектор-решений системы однородных линейных уравнений (8) также является вектор-решением данной системы.

В этом несложно убедиться непосредственной подстановкой линейной комбинации вектор-решений в систему.

Лемма 2. Пусть для системы линейных однородных уравнений (8) , где r – ранг матрицы системы, а n – число неизвестных. Тогда эта система имеет (n–r) линейно независимых вектор-решений таких, что любое другое решение этой системы является их линейной комбинацией.

Замечание. Можно показать, что (n–r) – максимальное число линейно независимых вектор-решений системы.

Определение 10. Максимальный набор линейно независимых решенийоднородной системы называется фундаментальной системой решений.

На практике мы будем искать нормированную фундаментальную систему решений.

Правило нахождения нормированной фундаментальной системы решений: для нахождения нормированной фундаментальной системы решений однородной системы с n неизвестными ранга r (r<n) нужно в общее решение системы в качестве значений свободных переменных подставить строки (столбцы) единичной матрицы .

Поиск по сайту: