АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

А всякое другое решение ему пропорционально

Читайте также:
  1. HEMI-SYNC И МНОГОЕ ДРУГОЕ
  2. I. Решение логических задач средствами алгебры логики
  3. II. Решение логических задач табличным способом
  4. III. Разрешение споров в международных организациях.
  5. III. Решение логических задач с помощью рассуждений
  6. MFG/PRO – лучшее решение для крупных и средних промышленных предприятий с дискретным типом производства
  7. V2: ДЕ 55 - Решение линейных неоднородных уравнений со специальной правой частью
  8. Аналитическое решение
  9. Антиполия-противоречие в в законе. Противоречие разрешаясь делает чего то возможным. Отрицание-отрицания ( разрешение противоречия (синтез))
  10. Арбитражное разрешение международных споров в Древней Греции
  11. Арбитражное разрешение международных споров в Древнем Риме

[1]) Одна половина этого утверждения уже была доказана в § 7,

Доказательство. Так как, по условию, ранг матрицы А равен п — 1, то один из миноров Mi должен быть отличен от нуля; пусть это будет Мп. Полагаем в нашей системе неизвестное хп свободным и переносим его в правую часть каждого из уравнений, после чего получим

aii*i+ ацХ2 + - • •+ ai, n-ixn-i— —атхп> аПх1 + 0,^2Х2 ~Ь 4" а2,п — 1Хп—1~ a2nXti’

ап-1, 1х1 + ап-1,* + • ■ • + ая-1,п-1хп-1ап-1,пхп-

Применяя затем правило Крамера, мы получим общее решение заданной системы уравнений, которому после легких преобразований можно придать вид

. М-

*/ = (-1 )a~ljfnxn, <=1,2 п-1. (3)

Положивхп — (—\)п~1Мп, мы получим: */ = (—I),n“'-1Af/, t=l,2 ft—I,

или, г так как разность ,(2л—i1)—-(/— 1) = 2л—2i есть четное, число, *,• = (—l)I-IAf,-, т. е. система чисел (2) действительно будет решением нашей системы уравнений. Любое другое решение этой «системы получается из формул (3) при другом числовом значении неизвестного хп,и поэтому оно пропорционально решению (2). Понятно, что, рассматриваемое утверждение справедливо и в том случае, когда Мп = 0, но один из миноров М,-, 1< —1, отличен от нуля.

Решения системы линейных однородных уравнений обладают сле­дующими свойствами. Если вектор p = Ьг, ..Ьп) является реше­нием системы (1), то при любом числе k вектор Ар = (kblt kb2, ...,kbn) также будет решением этой системы, что проверяется непосредствен­ной подстановкой в любое из уравнений (1). Если, далее, вектор <у = (сх, с2, ..., с„) — еще одно решение системы (1), то для этой системы служит решением и вектор р +y = (^i + ci> 62 + с2, •••

• • *! ^П+ СпУ-

S аи (bJ + ci) = 2 aUbi + % a4ci = °> * = 1.2. •••.«■

/=i /=i /=i

Поэтому вообще всякая линейная комбинация решений однород­ной системы (1) будет сама решением этой системы. Заметим, что в случае неоднородной системы, т. е. системы линейных урав­нений, свободные чл&ны которых не все равны нулю, соответствую­щее утверждение не имеет места: ни сумма двух решений системы неоднородных уравнений, ни произведение решения этой системы на число не будут уже служить решениями для этой системы.

Мы знаем из § 9, что всякая система л-мерных векторов, со­стоящая более чем из п векторов, будет линейно зависимой. Отсюда следует, что из числа решений однородной системы (1), являющихся, как мы знаем, л-мерными векторами, можно выбрать конечную максимальную линейно независимую систему, максимальную в том смысле, что всякое другое решение системы (1) будет линейной



комбинацией решений, входящих в эту выбранную систему. Всякая максимальная линейно независимая система решений однородной системы уравнений (1) называется ее фундаментальной системой решений.

Еще раз подчеркнем, что п-мерный вектор тогда и только тогда будет решением системы (1), если он является линейной ком­бинацией векторов, составляющих данную фундаментальную систему.

Понятно, что фундаментальная система будет существовать лишь в том случае, если система (1) обладает ненулевыми решениями, т. е. если ранг ее матрицы из коэффициентов меньше числа неиз­вестных. При этом система (1) может обладать многими различными фундаментальными системами решений. Все эти системы эквивалентны, однако, между собой, так как каждый вектор всякой из этих систем линейно выражается через любую другую систему, и поэтому системы состоят из одного и того же числа решений.

Справедлива следующая теорема:

Если ранг г матрицы из коэффициентов системы линейных однородных уравнений (1) меньше числа неизвестных п, то вся­кая фундаментальная система решений системы (1) состоит из пг решений.

Для доказательства заметим, что п—г является числом свобод­ных неизвестных в системе (1); пусть свободными будут неизвест­ные xr+v хг+2, хп. Рассмотрим произвольный отличный от нуля определитель d порядка п—г, который запишем в следующем виде:

  cl, r + l> cl, Г + 2' • • > cln
d = C2, r + l> C2> r + 2' > C2 n
  cn-r, r+l> c„- Г1 Г + 21 • • • > cn-r> n

Беря элементы г-й строки этого определителя, 1<:г=^я — г, в ка­честве значений для свободных неизвестных, мы, как известно, получим однозначно определенные значения для неизвестных jc1, х2, ..., хг, т. е. придем к вполне определенному решению системы уравнений (1); запишем это решение в виде вектора

‡агрузка...

aj,== (С(1> С12> • • •)cin ci,r + l’ci, r +2> • • •»cin)'

Полученная нами система векторов al7 а2, ..а„_г служит для системы уравнений (1) фундаментальной системой решений. В самом деле, эта система векторов линейно независима, так как матрица, составленная из этих векторов как из строк, содержит отличный от нуля минор d порядка п—г. С другой стороны, пусть

Р ~\PlJ ^2! • * •> bfi br + 1, br + 2, ..., b^j

будет произвольное решение системы уравнений (1). Докажем, что вектор р линейно выражается через векторы ах, а2, а„_г.

Обозначим через ос', / = 1, 2, пг, i-ю строку определи­теля d, рассматриваемую как (п — г)-мерный вектор. Положим, далее,

Р ~ (ЬГ + 1, &г + 2, • • • ) Ьп).

Векторы а', 1 — 1, 2, ...,пг, линейно независимы, так как d^O. Однако система (п — г)-мерных векторов

«1-р'

линейно зависима, так как в ней число векторов больше их размер­ности. Существуют, следовательно, такие числа kt, k2, ...,kn_r, что

Р' = kia1 + &2аг + ... + kn_ra'n_r. (4)

Рассмотрим теперь я-мерный вектор

6 = + • * • ^n—r^n—r Р*

Вектор б, являясь линейной комбинацией решений системы однород­ных уравнений (1), сам будет решением этой системы. Из (4) сле­дует, чю в решении б значения для всех свободных неизвестных равны нулю. Однако то единственное решение системы уравнений (1), которое получается при равных нулю значениях для свободных не­известных, будет нулевым решением. Таким образом, 6 = 0, т. е.

Р = fexax + &2 СС2 + • • < + kn-rari-f

Теорема доказана.

Заметим, что проведенное выше доказательство позволяет утвер­ждать, что мы получим все фундаментальные системы решений системы однородных уравнений (1), беря в качестве d всевозможные отличные от нуля определители порядка п — г.

Пример. Дана система линейных однородных уравнений

3*^ + *2— 8лг3+ 2*4 + л;5 = 0, \

х— 2%— З*3— 7*4+ 2*б = О, I

*1 + 11*2—12*з + 34*4—5*5 = 0, I

*!— 5*2+ 2*3—16*4 + 3*5 = 0. J

Ранг матрицы из коэффициентов равен двум, число неизвестных равно пяти, поэтому всякая фундаментальная система решений этой системы урав­нений состоит из трех решений. Решим систему, ограничиваясь первыми

двумя линейно независимыми уравнениями и считая х3, х4, хъ свободными неизвестными. Мы получим общее решение в виде

*2 g *3 g *4 ~Ь 2

7 25 , 1

Берем, далее, следующие три линейно независимых трехмерных вектора (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). Подставляя компоненты каждого из них в общее решение в качестве значений для свободных неизвестных и вычисляя зна­чения для Xiи х2,мы получим следующую- фундаментальную систему ре­шений заданной системы уравнений:

Мы закончим параграф рассмотрением связи, существующей ме­жду решениями неоднородных и однородных систем. Пусть дана система линейных неоднородных уравнений:

&11Х1 Ч- ^12-^2 + • • • "Г а1пХп ~ Ь\1 ^

а21Х1 а22Х2 Н- • • • Ч- ®2пХп^21

аА* 1 + ая*г + • • • + V» = Ъг

Система линейных однородных уравнений:

(5)

<*11*1 + <*12*2 + • • • + «хА = 0. '

&21Х1 “Ь «2»*» =

«,1*1 + as2X2 + • • • + asnXn = 0,

(6)

>

полученная из системы (5) заменой свободных членов нулями, назы­вается приведенной системой для системы (5). Между решениями систем- (5) и (6) существует тесная связь, как показывают следую­щие две теоремы.

14 Сумма любого решения системы (5) с любым решением при­веденной системы (6) снова будет решением системы (5).

В самом деле, пусть сх, с2, ..., сп—решение системы (5), dlt d2, ..., dn — решение системы (6). Берем любое из уравнений системы (5), например k-e, и вставляем в него вместо неизвестных числа + c2 + rf2, cn-\-dn. Мы получим:

п

п

п

2 akj (CJ + dj)2 akjcj +2 akjdjh + ® ~ h'

/=1

/=1

15 Разность любых двух решений системы (5) служит реше­нием для приведенной системы (6).

Действительно, пусть с1( с2, ..., сп и с', с', — решения

системы (5). Берем любое из уравнений системы (6), например k-e, и подставляем в него вместо неизвестных числа

ci сх> с2 с2> •••> Сп сп-

Мы получим:

п п п

2 aki («у - с]) = 2 ak/°j - 2 akic)=bk-K=°- i=i /=i /=i

Из этих теорем вытекает, что, найдя одно решение системы линейных неоднородных уравнений (5) й складывая его с каждым из решений приведенной системы (6), мы получим все решения системы (5).


 

АЛГЕБРА МАТРИЦ § 13. Умножение матриц

В предшествующих главах понятие матрицы было использовано в качестве существенного вспомогательного, орудия при изучении систем линейных уравнений. Многочисленные другие применения этого понятия сделали его предметом большой самостоятельной тео­рии, во многих своих частях выходящей за пределы нашего курса. Мы займемся сейчас основами этой теории, начинающимися с того, что в множестве всех'квадратных матриц данного порядка своеобраз­ным, но вполне мотивированным способом определяются две алге­браические операции — сложение и умножение. Мы начнем с опре­деления умножения матриц; сложение матриц будет введено в § 15.

Из курса аналитической геометрии известно, что при повороте осей прямоугольной системы координат на плоскости на угол а координаты точки преобразуются по следующим формулам:

х—х' cosa—у' sina, у=х' sin а-\-у' cosa,

где х, у — старые координаты точки, х', у' — ее новые координаты; таким образом, х и у выражаются через х’ и у' линейно с некото­рыми числовыми коэффициентами. Во многих других случаях также приходится встречаться с заменой неизвестных (или переменных), при которой старые неизвестные линейно выражаются через новые; такую замену неизвестных называют обычно их линейным преобра­зованием (или линейной подстановкой). Мы приходим, следовательно, к такому определению:

Линейным преобразованием неизвестных называется такой пере­ход от системы п неизвестных хъ хг, . . ., хп к системе п неизве­стных уъ у2, . . ., уп! при котором старые неизвестные выражаются через новые линейно с некоторыми числовыми коэффициентами:

xi = аиУ 1 + а1ьУи + • • • + а1пУ„, хг ~ аг\У\~Ь ааУ‘2. "Ь ■ • ■ ~Ь а2пУп’

Линейное преобразование (1) вполне определяется своей матри­цей из коэффициентов

аи fl12 • • • а1п\

#21 а22 • • • а2п j

ап1 ап% • * • апп/

так как два линейных преобразования с одной и той же матрицей могут отличаться друг от друга лишь буквами, принятыми для обо­значения неизвестных; мы будем считать, одйако, что выбор этих обозначений целиком находится в нашем распоряжении. Обратно, задавая произвольную матрицу л-го порядка, мы сейчас же можем написать линейное преобразование, для которого эта матрица служит матрицей коэффициентов. Таким образом, между линейными преоб­разованиями п неизвестных и квадратными матрицами л-го порядка существует взаимно однозначное соответствие, а поэтому всякому понятию, связанному с линейными'преобразованиями, и всякому свой­ству этих преобразований должно соответствовать аналогичное поня­тие или свойство, относящееся к матрицам.

Рассмотрим вопрос о последовательном выполнении двух линей­ных преобразований. Пусть вслед за линейным преобразованием (1) выполнено линейное преобразование

У г = *11*1 + *12*2 + • • • + hnZn.

У г — Ь21гг + -f-.. . -j- b2nzn,

Упbnxzx + bn2z2 + ... -f bnttzn,

переводящее систему неизвестных y\,y2, ...,ynв систему гъ z2, ...,zn; матрицу этого преобразования обозначим через В. Подставляя в (1) выражения для^, _у2, .. ,,уп из (2), мы придем к линейным выраже­ниям для неизвестных хи х2, ..., хп через неизвестные гг, z2, ..., zn. Таким образом, результат последовательного выполнения двух линейных преобразований неизвестных снова будет линейным преобразованием.

Пример. Результатом последовательного выполнения линейных пре­образований

*, = 3Ух —У 2, Ух = Zt + z2,

Н=У\ +%2. У 2 = 4z;. + 2za будет линейное преобразование

*l = 3(zl+Z2)— (4Z!+222)=—Z! + 2j,

*2 7= (г1 + гг) + 5 (4zj + 2z2) =21гх + llz2.

Обозначим через С матрицу линейного преобразования, являюще­гося результатом последовательного выполнения преобразований (1) и (2), и найдем закон, по которому ее элементы cik, i,k= 1, 2, . ..,л,

выражаются через элементы матриц А м. В. Коротко записывая пре­образования (1) и (2) в виде

П П

*1Еа1/’Ур *=1,2,..., л; у,= У=1. 2. •••> л>

У = 1 А = 1

мы получим

*<• = 2аи {2 bjkzk^ = 2 (2anbik)i=i. 2,..., п.

/=i \ft=i / \/=i /

Таким образом, коэффициент при в выражении для лгг, т. е. эле­мент cik матрицы С, имеет вид

П

Cik = 2 a4bjk = ailblh + ai1b2k + • • • -f ainbnk’ (3)

I-i

элемент матрицы С, стоящий в i-й строке и k-м столбце, ра­вен сумме произведений соответственных элементов i-й строки матрицы А и k-го столбца матрицы В.

Формула (3), дающая выражение элементов матрицы С через элементы матриц А к В, позволяет при заданных матрицах А и В сразу написать матрицу С, минуя рассмотрение линейных преобра­зований, соответствующих матрицам Лий. Этим путем всякой паре квадратных матриц л-го порядка ставится в соответствие однозначно определенная третья матрица. Можно сказать, что мы определили в множестве всех квадратных матриц л-го порядка алгебраическую операцию; она называется умножением матриц, а матрица С— произведением матрицы А на матрицу В:

С = АВ.

Еще раз сформулируем связь между линейными преобразованиями и умножением матриц:

Линейное преобразование неизвестных, полученное в резуль­тате последовательного выполнения двух линейных преобразо­ваний с матрицами А и В, имеет своей матрицей коэффициен­тов матрицу АВ.

Примеры.

Г 4 9W 1 -3W 4-1+9-(—2) 4-(-3) + 9.1\_ Н-1 зМ-2 U \( —1)*1+3'( — 2) (—1)• (—3)-f-3-iy

/2 0 1ч /—3 1 0\ /— 6 1 3\

2) ( —2 3 2 ] . ( 0 2 1 ) = ( 6 2 9 ). V 4—15/ V 0—13/ 4 — 12 —3 14/

4) Найти результат последовательного выполнения линейных преобразо­ваний

*1 = 5^1—Уз + З^3,

= */х—2 Уз,

*3 = 7 и* у3

и

yy = 2Zi + 23,

у 2 = z2 5 zs,

2/з= 2г2.

Перемножая матрицы, получим:

/5—1 3\ /2 О К /10 5 10ч (1 —2 0 } I (0 1 — 5)Ц 2 —2 11),

\0 7 —1/ \0 2 0/ \ 0 5 —35/

поэтому искомое линейное преобразование имеет вид:

*1= 10.?! + 5г2 + 10z3,

^==22!—2г2+11г3, х3 = 5z2—35z3.

Возьмем один из рассмотренных сейчас примеров умножения матриц, например 2), и найдем .произведение тех же матриц, но взятых в обратном порядке:

/—3 1 0\ / 2 0 1\ г8 3 —1\

О 2 1.-2 3 2 1= 0 5 9 . у 0 —1 Зу \ 4—1 5 j \ 14 —6 13 у

Мы видим, что произведение матриц зависит от порядка мно­жителей, т. е. умножение матриц некоммутативно. Этого, впро­чем, следовало ожидать, уже хотя бы потому, что в определение матрицы С, данное выше при помощи формулы (3), матрицы А и В входят неравноправным образом: в А берутся строки, в В— столбцы.

Примеры неперестановочных матриц л-ro порядка, т. е. матриц, произведение которых меняется при перестановке сомножителей, можно указать для всех л, начиная с л = 2 (матрицы второго по­рядка в примере 1) неперестановочны). С другой стороны, две дан­ные матрицы случайно могут оказаться перестановочными, как по­казывает следующий пример:

/ 7 —12\ /26 45\ /26 45\ / 7 —12\ /2 3\

V—4 7у * (,15 26y = Vl5 26/ ‘ V —4 7/ = (^1 2У ‘

Умножение матриц ассоциативно■ можно говорить, следова­тельно, об однозначно определенном произведении любого конеч­ного числа матриц л-го порядка, взятых (ввиду некоммутативности умножения) в определенном порядке.

Доказательство. Пусть даны три произвольные матрицы й-го порядка Л, В и С. Запишем их следующим сокращенным спо­собом, указывающим общий вид их элементов: A~(ai}), £=(&(-;), С=(с;у). Введем, далее, следующие обозначения:

АВ= U= (и,7), ВС= V= (vu),

(АВ) (%), А (ВС) = Т= (tu).

Нам нужно доказать справедливость равенства (АВ)С—А(ВС), т. е. S—T. Однако

П П

*и = 2 в/Аг, vkj= 2 bktctJ,

fe = l I =1

и поэтому, ввиду равенств S=UC, T—AV,

п п п

s/j== 2 ииси— 2 2 °iФыс1]'

I-1 1=1k~\

п п п

Uj~ 2 aikvkj= 2 2 aik^kf tj<

A=l k = 1 / = 1

т. е. Sjj — t{/ при-i,- /'= 1, 2, п.

Дальнейшее изучение свойств умножения матриц требует привле­чения их определителей, причем мы условимся для краткости обо­значать определитель матрицы А через |Л|. Если читатель в каждом из рассмотренных выше примеров подсчитает определители пере­множаемых матриц и сравнит произведение этих определителей с определителем произведения заданных матриц, то обнаружит весьма любопытную закономерность, выражаемую следующей очень важной т е о р е м о й об умножении определителей:


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |


При использовании материала, поставите ссылку на Студалл.Орг (0.03 сек.)