АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Произведение матриц, хотя бы одна из которых вырожденная, будет вырожденной матрицей

Читайте также:
  1. I-III – зародышевые бугры, из которых образуются различные отделы лица.
  2. II. Перечень субъектов Российской Федерации, граничащих с субъектами Российской Федерации, на территории которых имеются природные очаги чумы
  3. III. Векторное произведение векторов, заданных координатами
  4. III. Произведение матриц
  5. IV. Найдите предложения, в которых нет грамматической ошибки. Исправьте ошибки в остальных предложениях.
  6. а) Находим границы, в которых с вероятностью 0,9946 заключено среднее время обслуживания всех клиентов пенсионного фонда.
  7. Автор - это гражданин, творческим трудом которого создано произведение.
  8. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, ПО УСЛОВИЮ КОТОРЫХ ПРОИСХОДИТ ВСТРЕЧА ТЕЛ
  9. База данных - это воплощенные на материальном носителе совокупности данных, подбор и расположение которых представляют результат творческого труда.
  10. Билет 7 Скалярное произведение векторов, проекция одного вектора на другой. Понятие линейного пространства и подпространства, критерии подпространства
  11. Билет 8. Векторное произведение, его геометрический смысл, выражение через координаты. Базис и размерность линейного пространства.
  12. Билет32Лазеры – это источники когерентного света, в работе которых использовано явление индуцированного излучения.

Произведение любых невырожденных матриц само будет не­вырожденной матрицей.

Отсюда следует, ввиду связи, существующей между умножением матриц и последовательным выполнением линейных преобразований, такое утверждение: результат последовательного выполнения не­скольких линейных преобразований тогда и только тогда будет невырожденным преобразованием, если все заданные преобразо­вания невырожденные.

Роль единицы в умножении матриц играет единичная мат­рица

1 о... о О 1... о

,0 0... 1

причем она перестановочна с любой матрицей А данного порядка,

АЕ = ЕА=А.

Доказываются эти равенства или непосредственным применением правила умножения матриц, или же на основании замечания, что единичная матрица соответствует тождественному линейному пре­образованию неизвестных

Xi=yi,

~ У 2 >

*П= Уп,

(1)

выполнение которого до или после любого другого линейного пре­образования, очевидно, не меняет этого последнего.

Заметим, что матрица Е является единственной матрицей, удовлетворяющей условию (1) при любой матрице А. Действи­тельно, если бы существовала еще матрица £' с этим же свойством, то мы имели бы

Е'Е = ЕЕ'Е = Е,

откуда Е' =Е.

Вопрос о существовании для данной матрицы А обратной ма­трицы оказывается более сложным. Ввиду некоммутативности умно­жения матриц мы будем говорить сейчас о правой обратной ма­трице, т. е. о такой матрице А-1, что произведение матрицы А справа на эту матрицу дает единичную матрицу,

АА~1 = Е. (2)

Если матрица А вырожденная, то, если бы матрица Л -1 существо­вала, произведение, стоящее в левой части равенства (2), было бы, как мы знаем, вырожденной матрицей, в то время как на самом деле матрица Е, стоящая в правой части этбГо равенства, является невырожденной, так как ее определитель равен единице. Таким об­разом, вырожденная матрица не может иметь правой обратной ма­трицы. Такие же соображения показывают, что она не имеет и левой обратной и поэтому для вырожденной матрицы обратная матрица вообще не существует.

Переходя к случаю невырожденной матрицы, введем сначала следующее вспомогательное понятие. Пусть дана матрица й-го по­рядка

aU °12 • • • °Хп °21 °22 • • • а 2 я

ап1 ап2 • • • 0 ПП

Матрица

■^11 -^21 • • • 1

•^12 -^22 • • • -^п 2

^1 П ^2п • ’ • Апп

составленная из алгебраических дополнений к элементам матрицы А, причем алгебраическое дополнение к элементу а(у стоит на пересе­чении у-й строки и г-го столбца, называется присоединенной (или взаимной) матрицей к матрице А.

Найдем произведения АА* и А*А. Используя известную из § 6 формулу разложения определителя по строке или столбцу, а также теорему из § 7 о сумме произведений элементов любой строки

ОБРАТНАЯ МАТРИЦА

(столбца) определителя на алгебраические дополнения к соответствен­ным элементам другой строки (столбца), и обозначая через d опре­делитель матрицы А,

d=\A |,

мы получим следующие равенства:

[d 0... о\

AA*=A*A = l °_ d '■ 0 j. (3)

\0 0... dj

Отсюда вытекает, что если матрица А невырожденная, то ее присоединенная матрица А* также будет невырожденной, причем определитель d* матрицы А* равен (п —1)-й степени определи­теля d матрицы А.

В самом деле, переходя от равенств (3) к равенству между опре­делителями, мы получим

dd* = с Г,

откуда ввиду d^ О

d* = dn~11).

Теперь легко доказать существование обратной матрицы для всякой невырожденной матрицы А и найти ее вид. Заметим сначала, что если мы рассмотрим произведение двух матриц АВ и все элементы одного из множителей, например В, разделим на одно и то же число d, то все элементы произведения АВ т^кже разделятся на это же число: для доказательства нужно лишь вспо­мнить определение умножения матриц. Таким образом, если

d = \А | Ф О,

то из равенств (3) вытекает, что обратной матрицей для А будет служить матрица, получающаяся из присоединенной матрицы А* делением всех ее элементов

I

i-i

на число d:
Ли An Am
d d d
to A22 Afi2
d d "• d
Ain A in Ann
d d d

[1] Можно было бы доказать, что если матрица А вырожденная, то и ее присоединенная матрица А* также вырожденная, причем имеет ранг, не превосходящий числа 1.

Действительно, из (3) вытекают равенства

АА~1 = А~1Аг=Е. (4)

Ещв раз подчеркнем, что в г-й строке матрицы Л -1 стоят алгебраические дополнения к элементам /-го столбца определи­теля |Л|, деленные на d = \A\.

Легко доказать, что матрица Л -1 является единственной матрицей, удовлетворяющей условию (4) для данной невырожденной матрицы А. Действительно, если матрица С такова, что

АС = СА=Е,

то

САА~г = С (АА-1) = СЕ = С,

САА-1 = (СА)А~1 = ЕА-1 = А-1,

откуда С = Л-1.

Из (4) и теоремы об умножении определителей вытекает, что

определитель матрицы Л -1 равен т-^-,, так что эта матрица также

17 A j


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.)