Следствия. Примеры

Пусть Р -поле, элементы которого будем называть скалярами или просто числами.

Определение 1. Векторным пространством над полем Р называется множество V, элементы которого назовем векторами, если на нем задана одна алгебраическая операция - сложение и один внешний закон композиции – умножение на числа из Р, причем для любых векторов a, b, c из V и любых чисел из Р выполняются следующие условия (аксиомы):

1. (a + b)+ c = a + (b + c), 5. a = a + a,

2. 0, такой, что 0 + a = a, 6. (a + b) = a + b,

3. a V (- a) V, такой что (- a) + a, 7. a ) = a,

4. a + b = b + a, 8. 1 a = a.

Допуская вольность речи, нулевой вектор будем иногда называть просто нулем.

Отметим простейшие следствия из определения.

1⁰. Нулевой вектор 0 из V - единственный.

В самом деле, предположив, что имеются два нулевых вектора 0 ₁и 0 ₂, составим сумму 0 ₁+ 0 ₂. В силу 2-й аксиомы, эта сумма равна 0 _2, так как 0 ₁ – нуль. С другой стороны, эта сумма равна 0 ₁, так как 0 ₂ тоже нуль_. Следовательно, 0 ₁= 0 ₂.

2⁰. Вектор (-а), противоположный вектору а, единственный.

Действительно, пусть (- a ₁) и (- a ₂) - векторы, противоположные вектору а. Составим сумму (- а ₁) + а + (- а ₂) и расставим в ней скобки согласно первой аксиоме. Тогда получим

((- а ₁) + а) + (-а ₂) = (- а ₁ )+ (а + (-а ₂)), откуда следует, что 0 + (- а ₂) = = (- а ₁) + 0, то есть (- а ₁) = (- а ₂).

3⁰. 0 а = 0.

Из аксиом 5 и 8 следует, что справедливы равенства:

a = 1 а = (1+0) а = 1 а + 0 а = а + 0 а. Так как а = а + 0 а, то отсюда и следует3⁰.

4⁰. 0 = 0.

Справедливость этого утверждения следует из верных в силу аксиом 2 и 6 равенств а = (а + 0) = а + 0.

5⁰. (-1) а = (- а).

Чтобы доказать это утверждение, воспользуемся уже доказанным свойством 3⁰. Имеем 0 = 0 а = ((-1)+1) а = (-1) а + 1 а. С учетомаксиомы 8 получаем, что (-1) а + а = 0, а это и значит, что верно 5⁰.

Введем еще одно распространенное понятие, а именно: положим а – b = а +(-b) и такую сумму будем называть разностью векторов а и b.

Нетрудно указать примеры векторных пространств. Для этого достаточно вспомнить такие множества математических объектов, которые можно складывать между собой и умножать на числа (сами числа, функции, многочлены, геометрические векторы, матрицы, и т. д.).

Пример 1. Пусть Е – множество свободных геометрических векторов (направленных отрезков), складываемых по правилу параллелограмма и умножаемых на действительные числа обычным образом. Из аналитической геометрии мы знаем, что сложение и умножение на действительные числа, множество которых обозначим R, обладают свойствами 1-8 определения 1. Значит, Е – векторное пространство над полем R.

Пример 2. Пусть Pⁿ = {(a₁,a_2,...,a _n)| a _i Î P } - множество всевозможных упорядоченных наборов из n элементов поля P. Определим сумму двух наборов а = (а_1,…,а _n) и b = (b₁,…,b _n) как набор a + b = (a₁+b_1,…,a _n +b _n), а произведение числа a на набор а как набор a а = (aа₁,…,aа _n). Проверка показывает, что введенное сложение наборов и умножение наборов на числа обладают свойствами 1-8. Следовательно, Pⁿ является векторным пространством над полем P. Если P = R, то R ⁿ называется n-мерным арифметическим векторным пространством.

Пример 3. Множество C всех комплексных чисел образует векторное пространство над полем действительных чисел, где сложение комплексных чисел и умножение их на действительные числа определяются обычным образом.

Пример 4. Пусть M (P) - множество всех (m´n)-матриц с элементами из произвольного поля Р. Определяя сложение матриц и умножение их на числа стандартным образом, получим векторное пространство над полем Р.

Пример 5. Множество R (a,b) всех непрерывных действительных функций, заданных на промежутке [a,b], с обычным сложением и умножением на действительные числа, образует векторное пространство над полем R.

Пример 6. Множество P [x₁,x₂,…,x _n ] всех многочленов от n переменных с коэффициентами из произвольного поля Р относительно обычных операций сложения многочленов и умножения их на числа образуют векторное пространство над полем Р.

Поиск по сайту: