Действия над линейными операторами. Обозначим L(V) - множество всех линейных операторов n-мерного векторного пространства V над полем Р

Обозначим L(V) - множество всех линейных операторов n -мерного векторного пространства V над полем Р. Введем в этом множестве операции сложения, умножения и умножения на числа из Р. Пусть j, y, c - любые операторы из L(V), a, b - любые числа из поля Р.

Определение 1. Суммой двух линейных операторов j и y называется отображение j+y, такое что " х Î V:

(j+y) х = j х + y х. (1)

Теорема 1. Сумма линейных операторов является линейным оператором.

Доказательство. В самом деле, пользуясь свойствами линейных операторов и определением их суммы, имеем

(j+y)(a х + b у) = j(a х + b у) +y(a х + b у) = aj х +bj у + ay х + by у = = a(j х + y х) +b(j у +y у) = a(j+y) х + b(j+y) у,что и доказывает наше утверждение.

Заметим, что среди всех отображений векторного пространства в себя отображение О, определенное формулой 0 х = 0, является линейным оператором; кроме того, легко проверить, что отображение (-j), определенное равенством (-j) х = -j х, также является линейным оператором, если jÎ L(V). Учитывая эти замечания, отметим легко проверяемые свойства сложения линейных операторов:

1. (j + y) + c = j + (y + c),

2. $ 0, такой что 0 +j = j, (2)

3. "jÎ L(V) $(-j)Î L(V), такой что (-j) + j = 0,

4. j + y = y + j.

Определение 2. Произведением числа g на линейный оператор j называется отображение gj, определенное равенством (gj) х = g(j х).

Теорема 2. Произведение числа на линейный оператор является линейным оператором.

Действительно, (gj)(a х + b у) = g(j(a х + b у)) = g(aj х + bj у) = = gaj х + gbj у = a(gj) х + b(gj) у.

Нетрудно убедиться в справедливости следующих равенств:

5. (a + b)j = aj + bj,

6. a(j + y) = aj + ay, (3)

7. a(bj) = (ab)j,

8. 1j = j.

Следствие. Множество L(V) всех линейных операторов, относительно введенных операций сложения и умножения на числа, образуют векторное пространство.

Определение 3. Произведением двух линейных операторов j и y называется отображение jy, определенное формулой (jy) х = = j(y х).

Теорема 3. Произведение линейных операторов является линейным оператором.

В самом деле, (jy)(a х + b у) = j(y(a х + b у)) = j(ay х + yb у) = = aj(y х) + bj(y у) = a(jy) х + b(jy) у.

Отметим следующие свойства произведения линейных операторов:

1. (j + y)c = jc + yc,

2. j(y+c) = jy+jc, (4)

3. a(jy) = (aj)y = j(ay).

Пример. Линейный оператор f в базисе a₁ = (2, 1), a₂ = (1, 1) имеет матрицу

.

Линейный оператор g в базисе b₁ = (5, 2), b₂ = (1, 0) имеет матрицу

Найти матрицу линейного оператора f + g в базисе b₁, b₂.

Решение.

Найдем сначала матрицу A_b линейного оператора f в базисе b₁, b₂.

A_b = T^-1 A_a T, где T – матрица перехода от базиса а₁, а₂ к базису b₁, b₂. Так как

b₁ = 3 a₁ - a₂,

b₂ = a₁ – a₂, то

Итак, матрица суммы линейных операторов имеет вид:

§ 4. Алгебра. Изоморфизм алгебр. Изоморфизм алгебры

линейных операторов и алгебры матриц

Определение 1. Алгеброй над полем Р называется множество A, в котором заданы операции: сложение, умножение и умножение на числа из Р, причем относительно сложения и умножения на числа множество A является векторным пространством над Р, а умножение связано со сложением и умножением на числа следующими условиями: для любых а, b, c из A и любого числа a из Р:

1. (а + b)c = ac + bc,

2. a(b + c) = ab + ac,

3. a(ab) = (aa)b = a(ab).

Из следствия § 3 и равенств (4) этого же параграфа следует, что множество линейных операторов относительно введенных операций сложения, умножения и умножения на числа образует алгебру. Классическим примером алгебры является множество M_n(P) всех квадратных матриц n -го порядка с элементами из поля Р. Геометрические векторы относительно обычного сложения, умножения на числа и векторного произведения также образуют алгебру.

Определение 2. Изоморфизмом алгебр A и A¢ над одним и тем же полем Р называется биекция f:A ®A¢, такая, что для любых a и b из A и любого числа a из Р:

f (a+ b) = f (a) + f (b), (1)

f (a a) = a f (a), (2)

f (ab) = f (a) f (b). (3)

В математике изоморфные алгебры не считаются различными, так как они могут отличаться только природой своих элементов.

Теорема. Алгебра линейных операторов L(V) n -мерного векторного пространства V изоморфна алгебре M_n(P) квадратных матриц n -го порядка с коэффициентами из поля Р.

Доказательство. Выберем и зафиксируем в V какой-либо базис e = (e ₁,…, e _n) и построим отображение f:L(V) ® M_n(P) следующим образом: каждому линейному оператору j сопоставим его матрицу А_j в данном базисе, иными словами

f (j) = A_j Û j e = e A_j. (4)

Проверим первое условие изоморфизма алгебр, то есть, что f (j + y) = A_j + A_y.

Для этого, руководствуясь (4), найдем

(j+y) e = ((j+y) e ₁,…,(j+y) e _n) = (j e ₁+ y e ₁,…,j e _n + y e _n) = j e + y e = = e A_j + e A_y = e (A_j +A_y). (5).

Аналогично, из равенств (aj) е = a j е = a е А_j = е aА_j следует, что f (aj) = aА_j.

Прежде чем проверять третье свойство изоморфизма, напомним, что в § 2 этой главы из формул (3) и (4) следовала справедливость равенства j(е Т) = (j е)Т, где Т – невырожденная матрица. Но приведенные там рассуждения справедливы и для любой матрицы. Имея это ввиду, получим

(jy) е = j(y е) = j(е А_y) = (j е)А_y = (е А_j)А_y = е (А_j А_y), откуда и следует, что f (jy) = A_jA_y.

Теорема доказана.

Поиск по сайту: