АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Квадратичная форма

Читайте также:
  1. bending strain (майысу деформациясы)
  2. Bending strain (майысу деформациясы)
  3. CASE-технология создания информационных систем
  4. I Понятие об информационных системах
  5. I. ВВЕДЕНИЕ В ИНФОРМАТИКУ
  6. I. Определите, какое из этих высказываний несет психологическую информацию.
  7. I. Основная форма: помешательство.
  8. I. При каких условиях эта психологическая информация может стать психодиагностической?
  9. II. Довідково-інформаційні документи
  10. II. ОСНОВНОЕ ПОНЯТИЕ ИНФОРМАТИКИ – ИНФОРМАЦИЯ
  11. II. Соціальні відносини як форма прояву соціальних взаємодій.
  12. II. Тип организации верховной власти в государстве (форма государственного правления).

Определение 1. Квадратичной формой, порожденной симметри- ческой билинейной формой В, называется скалярная функция К от одноговекторного аргумента, определенная формулой К (х) = В (х, х).

Из (5) §2 следует, что при выбранном базисе квадратичная форма может быть задана в виде

K (x) = , (1)

где aij = aji.

Теорема. Для любой квадратичной формы существует единственная порождающая ее симметрическая билинейная форма.

Доказательство. Пусть дана квадратичная форма К. Пусть В - неизвестная намбилинейная симметрическая форма, которая порождает квадратичную форму К. Тогда

К (х + у) = В (х+у, х+у) = В (х, х) + В (х, у) + В (у, х) + В (у, у) =

= К (х) +2 В (х, у) + К (у). (2)

Из (2) следует

В (х, у) = { - К (х) - К (у) + К (х+у)}. (3)

Формула (3) показывает, как по квадратичной форме можно построить порождающую ее билинейную форму. Единственность следует из ее построения: если предположить, что квадратичную форму К порождает билинейная форма В ¢, то, проделав те же операции, что и для билинейной формы В, мы получим ее представление в виде (3), что будет означать, что В' = В.

Определение 2. Матрицей А К квадратичной формы в данном базисе называется матрица порождающей эту форму билинейной симметрической формы. Рангом квадратичной формы называется ранг ее матрицы в некотором базисе.

Из определения следует, что при переходе к другому базису с матрицей Т матрица квадратичной формы преобразуется по формуле

А' К =TtA K T. (4)

Если же областью определения квадратичной формы является векторное пространство над полем R действительных чисел, то знак определителя ее матрицы не зависит от выбора базиса.

Пример. Составить матрицу квадратичной формы

К(x)=

Учитывая, что матрица симметричная и что аij = aji, составляем матрицу

 

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)