АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Положительно определенные квадратичные формы

Читайте также:
  1. BRP открывает новый виток инновационного развития с выпуском платформы Ski-Doo REV
  2. II Формы общения, к вампиризму не относящиеся
  3. II. ЦЕЛИ И ФОРМЫ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПРИХОДА
  4. IV. Формы контроля
  5. IV. Формы контроля
  6. V. Формы контроля
  7. VI. Темы семинарских занятий для очной формы обучения
  8. VII Формы текущего и итогового контроля
  9. VII. Новые формы российского предпринимательства
  10. VII. Принятые формы сексуальных отношений
  11. А) Формы существования
  12. А. Виды и формы страхования

 

Пусть в векторном пространстве V над полем R действительных чисел задана квадратичная форма К ранга r, которая в некотором базисе е 1,…, e n записывается в виде

K (x) = (1)

Определение 1. Квадратичная форма K называется положительно определенной, если для любого ненулевого вектора х K (x)>0.

Заметим, что если положительно определенную квадратичную форму записать в нормальном виде в некотором каноническом базисе f 1,…, f n, то, очевидно, она будет иметь вид

K (x) = , (2)

то есть r = i+ = n. В самом деле, если бы это было не так, то последнего квадрата в (2) или не было бы, или он входил бы со зна- ком «минус», и тогда значение квадратичной формы на векторе f n = (0,…,0 ,1) было бы равно или нулю, или отрицательному числу.

Отметим два свойства положительно определенной квадратичной формы.

1. Все коэффициенты aii, i =1,2,…, n при квадратах координат положительно определенной квадратичной формы (1) строго положительны.

Действительно, aii = K (e i) > 0.

2. Определитель матрицы положительно определенной квадратичной формы строго положителен, то есть det .

В самом деле, определитель матрицы положительно определенной квадратичной формы, заданной в нормальном виде, равен 1. Но знак определителя матрицы квадратичной формы не зависит от выбора базиса, а потому для положительно определенной квадратичной формы он всегда положителен.

Определение 2. Пусть дана матрица

. (3)

Угловыми минорами матрицы В называются ее миноры, расположенные в левом верхнем углу, то есть миноры вида

, i = 1, 2,…, n. (4)

Теорема (Критерий Сильвестра). Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда все угловые миноры ее матрицы строго положительны.

Доказательство. Необходимость. Пусть квадратичная форма (1) положительно определена. Положим L= < e 1,…, e k > и будем рассматривать квадратичную форму К не на всем пространстве, а на подпространстве L. Если x Î L, то х = (x 1,…, xk,0,…,0) и

K (x) = . (5)

Эта форма на подпространстве L будет положительно определенной, так как она положительно определена на всем пространстве. Поэтому определитель этой квадратичной формы, являясь в то же время угловым минором матрицы квадратичной формы (1), положителен. Поскольку k здесь принимает любое значение от 1 до n, то необходимость доказана.

Достаточность. Пусть все угловые миноры квадратичной формы (1) строго положительны. Доказывать будем индукцией по размерности пространства. При п= 1 теорема верна, так как в этом случае К (х) = , причем по условию a 11>0. Полагая теорему справедливой для п -1, докажем ее справедливость для п.

Выделим в (1) те слагаемые, которые не содержат координаты хп, и перепишем (1) в виде

K (x) = . (6)

Будем рассматривать первое слагаемое как квадратичную форму K 1, заданную на L = < e 1,…, e n -1>, которая по индуктивному предположению положительно определена, так как все угловые миноры ее матрицы являются угловыми минорами матрицы квадратичной формы К и потому строго положительны. Перейдем в L к каноническому базису с формулами преобразования координат

. (7)

Тогда для х = (х 1,…, хп -1,0)Î L получим, что К 1(х) = . Добавим к равенствам (7) равенство хп = уп и будем считать получившиеся равенства преобразованием координат при переходе к новому базису в пространстве V. В этом новом базисе будем иметь

K (x) = . (8)

Перепишем равенство (8) в виде

К (х) = =

= (9)

где

Сделаем еще одну замену базиса в пространстве V с формулами перехода

z 1 = y 1+ b 1 nyn, …, zn -1 = yn- 1+ bn -1 nyn, zn = yn, (10)

в котором квадратичная форма запишется, как это видно из (9), следующим образом

K (x) = . (11)

В выбранном базисе определитель матрицы формы К, как это видно из (11), равен b, но так как определитель матрицы квадратичной формы в любом базисе имеет один и тот же знак, то b >0, и теорема доказана.

 

УПРАЖНЕНИЯ

 

1. Дана линейная функция f (x) = x 1- 5 x 3, где x 1, x 2, x 3 – координаты вектора х вбазисе е 1, е 2, е 3. Чему равно значение f (е 1+3 е 2- е 3)?

2. Матрица билинейной формы в некотором базисе имеет вид . Какой вид имеет в этом базисе сама билинейная форма f (x, y)?

3. Какой ранг имеет билинейная форма f (х,у), если она принимает следующие значения на парах базисных векторов f (e 1, e 1) = 0, f (e 1, e 2) = 1, f (e 2, e 1) = 0, f (e 2, e 2) = 2?

4. Матрица перехода от одного базиса к другому имеет вид . При каких значениях l матрица билинейной формы меняется при переходе к новому базису как матрица линейного оператора?

5. Квадратичная форма в некотором базисе имеет вид К(х) = 2 х 1 х 2. Какой вид имеет в этом базисе порождающая ее билинейная форма?

6. Каков положительный индекс инерции квадратичной формы, имеющий в некотором базисе вид х 12 +2 х 1 х 2 + х 22?

7. Линейные формы f1 (x) = 2 x1 +5 x2 и f2 (x) = x1 + x2 являются базисом двумерного пространства линейных форм. Найти двойственный ему базис.

8. Дана квадратичная форма К (х) = . Составить билинейную форму, порождающую данную квадратичную форму.

9. Используя алгоритм Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду, привести к каноническому виду билинейную форму

B (x, y) =

10. Привести квадратичную форму К(x) = к каноническому виду.

11. Квадратичные формы будем называть эквивалентными, если они имеют одинаковый нормальный вид. Какие из следующих квадратичных форм эквивалентны над полем комплексных чисел:

f1 = x12 – x22, f2 = x12 + 5x32, f3 = x22 + 4x12 – x32?

12. Какие из следующих квадратичных форм эквивалентны над полем вещественных чисел:

f1 = x12 – x22, f2 = x12 + 5x32, f3 = x22 + 4x12 – x32?

13. У казать l, mÎR, для которых квадратичные формы

К1 (х) =

К2 (х) =

являются положительно определенными.

 

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.006 сек.)