 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Собственные векторы и собственные значения
Если существует ненулевой вектор с линейного пространства V/K, для которого 
, 
, то 
называется собственным значением линейного оператора 
, а вектор с называется собственным вектором для собственного значения .
Теорема. Собственные векторы, принадлежащие различным собственным значениям линейного оператора , линейно независимы.
Доказательство проведем методом полной математической индукции по числу собственных значений. Пусть , с 
. Один ненулевой вектор образует линейно независимую систему. Предположим, что утверждение верно для любого количества собственных значений < n и пусть 
, 
, 
, …, 
, 
при i 
j, 
. Подействовав на обе части равенства линейным оператором , получим
,
а умножив на обе части того же равенства
.
После вычитания второго из полученных равенств из первого, получим
.
По гипотезе индукции векторы x 2, ..., xn линейно независимы, поэтому 
,..., 
векторы x 1, ..., xn линейно независимы. ■
Если А – квадратная матрица порядка n, Е – единичная матрица того же порядка, то 
– характеристический многочлен матрицы А. Легко проверить, что характеристические многочлены подобных матриц равны. Поэтому характеристический многочлен матрицы линейного оператора не зависит от выбора базиса и он называется характеристическим многочленом линейного оператора 
Теорема. Собственными значениями линейного оператора являются корни его характеристического многочлена, лежащие в поле K, и только они.
Доказательство. Пусть – собственное значение линейного оператора . Тогда существует ненулевой вектор с, для которого . Пусть А – матрица линейного оператора в некотором базисе e 1, …, en, c = 
Тогда 
Однородная система n линейных уравнений с n неизвестными x 1, ..., xn имеет ненулевое решение. Поэтому ее определитель равен нулю
Нетрудно провести все рассуждения в обратном направлении: если – корень характеристического многочлена, то найдется ненулевой вектор с, для которого . ■
Набор корней характеристического многочлена матрицы линейного оператора называется спектром линейного оператора, причем каждый корень берется с той кратностью, какую он имеет в характеристическом многочлене. Линейный оператор имеет простой спектр, если все его характеристические корни принадлежат основному полю и различны. Для линейного оператора с простым спектром существует базис, в котором матрица линейного оператора диагональная. Подпространство L линейного пространства V/ K называется инвариантным относительно линейного оператора , если 
Линейный оператор , рассматриваемый только для векторов инвариантного подпространства L, называется индуцированным на L линейным оператором и обозначается 
– ограничение на подпространство L.
Пример. Найдите собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей
А = 
.
Составим характеристическую матрицу
А - Е = 
.
Так как ее определитель равен 
, то корни характеристического уравнения 
= 
= 3, 
= 6. Для нахождения собственных векторов, принадлежащих собственному значению 3 рассмотрим матричное уравнение (А – 3Е) Х = 
или в координатной форме однородную систему линейных уравнений
Ранг матрицы системы равен 1, поэтому система равносильна системе из одного уравнения 
. Фундаментальная система состоит из двух решений (-5, 1, 0) и (-3, 0, 1). Все собственные векторы, принадлежащие собственному значению = = 3 записываются в виде
(-5, 1, 0) + 
(-3, 0, 1).
Для нахождения собственных векторов, принадлежащих собственному значению 6 рассмотрим матричное уравнение (А – 6Е) Х = или в координатной форме однородную систему линейных уравнений
Ранг матрицы системы равен 2, поэтому система равносильна системе из двух уравнений
Фундаментальная система состоит из одного решения (- 
). Все собственные векторы, принадлежащие собственному значению = 6 записываются в виде
(- ).
Пример. Найдите собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей
А = 
а) над полем вещественных чисел;
б) над полем комплексных чисел.
а) Определитель матрицы (А - Е) равен - 
. Характеристическое уравнение над полем вещественных чисел имеет один корень 2. Координаты собственных векторов найдем из системы
Фундаментальная система решений системы (1, 1, 1). Все собственные векторы, принадлежащие собственному значению = 2 записываются в виде (1, 1, 1).
б) Характеристическое уравнение над комплексных чисел имеет три корня = 2, 
, 
. Все собственные векторы, принадлежащие собственному значению = 2 записываются в виде (1, 1, 1).
Для координаты собственных векторов найдем из системы:
С помощью элементарных преобразований получим эквивалентную систему:
Фундаментальная система решений состоит из одного решения:
, 1).
Таким образом, все собственные векторы, принадлежащие собственному значению записываются в виде
, 1).
Аналогично получим, что все собственные векторы, принадлежащие собственному значению записываются в виде
, 1).
Поиск по сайту: