АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Приведение квадратичной формы к главным осям

Читайте также:
  1. BRP открывает новый виток инновационного развития с выпуском платформы Ski-Doo REV
  2. II Формы общения, к вампиризму не относящиеся
  3. II. ЦЕЛИ И ФОРМЫ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПРИХОДА
  4. IV. Формы контроля
  5. IV. Формы контроля
  6. V. Формы контроля
  7. VI. Темы семинарских занятий для очной формы обучения
  8. VII Формы текущего и итогового контроля
  9. VII. Новые формы российского предпринимательства
  10. VII. Приведение аргументов
  11. VII. Принятые формы сексуальных отношений
  12. А) Формы существования

 

Теорема. (о приведении квадратичной формы к главным осям). Любую квадратичную форму с помощью ортогонального преобразования переменных можно привести к каноническому виду.

Доказательство. Матрица А квадратичной формы симметрична, а для симметричной матрицы найдется ортогональная матрица Q такая, что матрица Q- 1 AQ диагональна. Подвергнув квадратичную форму ортогональному преобразованию с матрицей Q, мы приведем ее к каноническому виду. ■

 

Теорема. Квадратичная форма с помощью ортогонального преобразования переменных приводится к каноническому виду, коэффициентами которого являются корни характеристического многочлена матрицы квадратичной формы, взятые с их кратностями.

Доказательство. Пусть квадратичная форма f некоторым ортогональным преобразованием переменных приведена к каноническому виду

Легко видеть, что ортогональное преобразование оставляет инвариантной сумму квадратов переменных, поэтому

Квадрат определителя ортогональной матрицы равен 1. А определитель матрицы преобразованной квадратичной формы отличается от определителя матрицы исходной квадратичной формы на квадрат определителя матрицы линейного преобразования. Отсюда,

. ■

 

Следствие. Для любой ортогональной матрицы, приводящей к диагональному виду симметрическую матрицу, на главной диагонали полученной диагональной матрицы располагаются характеристические корни симметрической матрицы, взятые с их кратностями.

 

Пример. Приведите к главным осям квадратичную форму

Матрица квадратичной формы имеет вид

А = .

Найдем ее характеристический многочлен

Матрица А имеет трехкратный характеристический корень 1 и простой характеристический корень – 3. Таким образом,

канонический вид, к которому квадратичная форма приводится ортогональным преобразованием.

Для нахождения ортогонального преобразования, осуществляющего это приведение, необходимо найти собственные векторы линейного оператора, матрицей которого в некотором ортонормированном базисе является матрица А. При для этого надо решить однородную систему линейных уравнений

Ранг системы равен 1 и поэтому фундаментальная система решений состоит из трех решений. Например,

b 1 = (1, 1, 0, 0),

b 2 = (1, 0, 1, 0),

b 3 = (-1, 0, 0, 1).

Ортогонализируя эту систему, получим

с 1 = b 1 = (1, 1, 0, 0),

с 2 = с 1 + b 2 = (, , 1, 0),

с 3 = с 1 + с 3 + b 3 = (, , , 1).

При надо решить однородную систему линейных уравнений

Ранг системы равен 3 и поэтому фундаментальная система решений состоит из одного решения. Например, с 4 = (1, -1, -1, 1).

Нормируя ортогональную систему векторов с 1, с 2, с 3, с 4, получим ортонормированную систему векторов

Таким образом, форма приводится к главным осям ортогональным преобразованием:

Следует отметить, что ответ неоднозначен.

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.)