АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Корневое подпространство

Читайте также:
  1. Линейное подпространство (ещё одно определение)
  2. Подпространство линейного пространства.Сумма и пересечение подпространств.Прямая сумма подпространств.

 

Определение. Подпространство линейного пространства называется инвариантным относительно линейного оператора j, если линейный оператор j элементы подпространства отображает в элементы этого же подпространства.

 

Теорема. Множество всех корневых векторов линейного пространства V/K, принадлежащих одному собственному значению линейного оператора j,образует подпространство линейного пространства V, инвариантное относительно линейного оператора j.

Доказательство. Для доказательства первой части теоремы достаточно проверить все аксиомы линейного пространства.

Если (j - re) hc = q, то (j - re) h (j с) = j((j - re) hc) = j(q) = q,т.е. если с – корневой вектор, то и j с – тоже корневой вектор, принадлежащий тому же собственному значению. ■

 

Обозначим через множество всех корневых векторов линейного пространства V/K, принадлежащих собственному значению r линейного оператора j. корневоеподпространство, принадлежащее собственному значению r линейного оператора j.

 

Теорема. Пусть r1,...,r m все попарно различные собственные значения линейного оператора j, действующего в линейном пространстве V/K Тогда линейное пространство V есть прямая сумма корневых подпространств:

V = Å... Å (2)

Доказательство. Так как r1,...,r m все различные собственные значения линейного оператора j,то его характеристический многочлен имеет вид:

c(х) = (х - r1) ... (x - r m)

и многочлены

y1(х) = (x - r2) (x - r3) ... (x - r m) ,

y2(х) = (x - r1) (x - r3) ... (x - r m) ,

y m (х) = (x - r1) (x - r m -2) (x - r m)

взаимно простые. По теореме о линейном представлении НОД существуют многочлены v 1(x),..., vm (x) из K[ x ],для которых

y1(x) v 1(x) +... + y m (x)v m (x) = 1 или y1(j) v 1(j) +... +y m (j)v m (j) = e.

Для любого элемента a из линейного пространства V получим

y1(j) v 1(j) a + + y m (j) vm (j) a = a.

Введем обозначения:

y1(j) v 1(j) a = a 1, , y m (j) vm (j) a = am.

Тогда a = a 1 +... +am. Так как (j - r i) y i (j) = c(j),а по теореме Гамильтона-Кэли линейный оператор c(j) – нулевой, то

(j - r i e) ai = q,

т.е. , 1 £ i £ m ÞV Í +... + Þ

Þ V = +... + .

Предположим, что y 1 +... +ym = q, yi Î , 1 £ i £ m. Тогда у 1= q,..., ym = q.В противном случае получаем противоречие с тем, что ненулевые векторы y 1, , ym линейно независимы. Из единственности представления нулевого вектора в виде суммы элементов из подпространств следует, что сумма прямая. ■

 

Замечание. Из доказательства следует, что если

c(х) = (х - r1) ... (x - r m) ,

то

V = Ker(j -r1e) Å Ker(j -r2e) Å Å Ker(j -r m e) .

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.)