П 3.6 Решение системы линейных алгебраических уравнений методом прогонки

Рассмотрим метод прогонки. Этот метод применим в случае, когда матрица системы является трехдиагональной.

Имеем систему линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей:

(1)

Достаточным условием устойчивости метода прогонки является условие преобладания диагональных элементов в матрице А, в которой :

причем строгое неравенство имеет место хотя бы при одном i [7; 8].

Решение системы будем искать в виде [4; 18]

, (2)

где - прогоночные коэффициенты.

Для их определения выразим из первого уравнения системы (1) х ₁ через х ₂, получим:

, (3)

откуда . (4)

Из второго уравнения системы (1) с помощью (3) выразим через , получим:

,

откуда . (5)

Продолжая этот процесс, получим из i -го уравнения системы (1)

, i = 1, 2, …, n–1. (6)

следовательно = , = , i = 2, …, n (7)

Таким образом, прямой ход метода прогонки по определению прогоночных коэффициентов завершен. Коэффициенты находятся по формулам (4), (7).

Обратный ход прогонки состоит в нахождении неизвестных

(8)

и далее, используя формулу (2) и значения прогоночных коэффициентов (4), (7), последовательно вычисляем все неизвестные .

Рассмотренный метод (4), (7), (8) называется правой прогонкой. В этом случае определение неизвестных происходит в направлении убывания индексов.

Аналогично, начиная с последнего уравнения СЛАУ (1), можно вывести формулы левой прогонки (9) – (12). В этом алгоритме значение неизвестных находятся в направлении возрастания индексов [4; 19].

, (9)

, , (10)

(11)

, (12)

Пример 1. Решить систему уравнений методом прогонки:

Решение:

Представим систему в матричном виде

.

Прямой ход. Вычисляем прогоночные коэффициенты:

Обратный ход. Вычисляем неизвестные x_i:

Поиск по сайту: