Переход к мнимости

1. Теперь мы подошли к огромному и принципиальнейшему вопросу, который до сих пор не нашел для себя почти никакой философской формулировки и остается по настоящий день чисто математической теорией, определяемой только одними математическими интуициями, без всяких признаков логической обработки. Тем не менее, <…> философское понимание этой области имеет фундаментальное значение для диалектического построения всей математики. И это есть проблема мнимых (комплексных) величин.

Диалектика имеет целью конкретное логическое конструирование предмета. Диалектика числа должна дать адекватно логическую конструкцию числа — со всей конкретностью его построения. Конкретность же чего бы то ни было возникает только тогда, когда дан и осмысленно обоснован его реальный образ, его оформление в смысле живого предметного лика.

Те три типа числа, которые возникают на почве внешнего гипостазирования числа (положительное, отрицательное и нуль), равно как и три типа, возникающие из внутреннего гипостазирования (целое, дробное, бесконечное), не могут претендовать на полную конструкцию смыслового образа числа. Эти числовые типы принципиально односторонни. Разумеется, в них не может не быть своего собственного оформления и своего собственного, специфического лика, ибо иначе они не были бы и самими собой. Однако тут нет конкретного оформления с точки зрения отражения в смысловой сфере полного лика числа.

Только там, где в числе привлечены сразу и его внутренняя и его внешняя стихия, может быть впервые поставлен вопрос о конкретном лике, или образе, числа. Это элементарно очевидно. Только с привлечением внутреннего содержания числа к его внешне субстанциальной данности может начаться рассуждение о границе числа, об очертаниях числа, о его конкретном образе и форме. Но и тут не всякая конструкция в одинаковой мере построяет конкретный образ числа.

2. В рациональном числе, там, где впервые зародилась антитеза внутреннего и внешнего, граница между этим внутренним и внешним не может, конечно, не наличествовать (иначе не было бы и самой антитезы), но она тут только присутствует, наличествует, существует, а не положена диалектически. Рациональное число уже предполагает, что такая граница есть, но пользуется оно этой границей как некоей абсолютной данностью, положенной неизвестно кем и чем и имеющей неизвестное происхождение. В понятии рационального числа ровно ничего не говорится о том, какова эта граница и какие смысловые категории затронуты для ее порождения. В рациональном числе 1) положена сама эта антитеза и 2) дана эта антитеза на стадии неразвернутого тезиса, т. е. когда внутреннее и внешнее прикреплены одно к другому в качестве отвлеченных принципов и внешне [е ] еще не расползлось в бесконечность становления и не увлекло с собою внутренней структуры числа. Граница, таким образом, здесь вполне на месте, но о ней ничего не известно, кроме того, что она существует. В рациональном числе фигурирует только самый факт границы, и, как всякий факт, он есть тут абсолютная данность, еще не возведенная на степень понятия, не вобранная в сферу чистого смысла.

Иррациональное число также немыслимо без антитезы внутреннего и внешнего, без различения внутреннего и внешнего и, стало быть, без наличия границы между ними, т. е. немыслимо без границы вообще. Однако и здесь нельзя говорить о том, что граница положена как смысловая категория. Единственное отличие иррациональной границы от рациональной — то, что здесь она дана в становлении, в движении. В рациональном числе граница существует между взаимно прикрепленными сторонами, внутренней и внешней. В иррациональном же числе внешнее инобытие перешло в становление и увлекло с собою внутреннюю стихию, отчего последняя утеряла свою целостность и превратилась в дробность. Но эта становящаяся граница здесь так же не фиксирована категориально, как и неподвижная граница в рациональном числе. Она предполагается здесь уже данной и используется как данность, хотя и неизвестен тот смысловой акт, в результате которого она идеально возникла.

3. Однако в пределах иррациональных структур уже намечается разная степень конкретности границы и оформления. В чисто иррациональном числе граница только становится, и больше ничего о ней тут не известно. Но в понятии непрерывности эта становящаяся граница внутреннего сливается с самим числом и, таким образом, полагается вместе с ним, полагается в меру его собственной положенности. Раньше граница вовсе не была положена, а бралась готовой, как положенная неизвестно каким смысловым актом. В непрерывной величине она слита с числом настолько интимно, что ее становление оказывается уже становлением самого числа, а положенность числа оказывается уже и положенностью ее самой. В непрерывности стихия границы, т. е. сама очер–ченность, оформленность, вошла во внутреннее содержание числа и объединилась с ним, и получилась некая оформленность, или образность, но — пока на[186]стадии текучего и алогического, сплоченно–неразличенного становления. Если бы граница, очерченность, образность были положены как такие, мы имели бы категориальную структуру границы, и диалектика числа как конкретного смыслового образа была бы в основном закончена. Но тут граница и очерченность положены вместе с самим числом, и потому предстоит еще диалектика разделения этих двух моментов, прежде чем будет получена чистая и конкретная смысловая фигурность числа.

В непрерывной величине фигурность числа положена вместе с самим числом и алогически расплылась в нем. Прерывная величина вносит различения в эту алогическую растворенность фигуры числа в самом числе. В категории же предела впервые останавливается это бесконечное алогическое стремление и фиксируется как некая ставшая структура. Оформленность и образность, вошедшие в непрерывной и прерывной величине внутрь структуры и придавшие ей определенную смысловую содержательность (пока на стадии алогического становления), в понятии предела впервые фиксируются в своей едино–совокупной положенности, в своей ставшей, а не просто становящейся смысловой данности. Оттого предел есть ставшая фигурность внутреннего и внешне положенного числа, пребывающего во взаимно несоизмеримом подвижном алогизме. Предел есть положенность такой границы, такой структуры и числового очертания, когда этими границами и структурами определяется алогический процесс становления числа, по существу своему бесконечный. Непрерывность и прерывность слиты здесь в один процесс стремления выразить некую общую структуру становления, и эта структура и есть граница, предел — и в общем, и в специально–математическом смысле этого последнего слова.

4. Итак, мы получили до сих пор оформление числа, положенное в неразрывном единстве с самим числом, с его внутренно–внешним содержанием. Разная степень конструкции этого оформления зависит от разной степени конкретности самого числа. Ниже (§ []) мы увидим на трех типичных пределах — <…> как эта нарастающая конкретность числа, взятого вместе с его фигурностью, чувствуется вполне осязательно. Если предел <…> есть стихия числа (единицы) в его общеэнергийной выявлен–ности, где сама явленность, т. е. сама очерченность и фигурность, еще пока растворена во внутрённо–внешнем содержании числа и где нет раздельного фиксирования формы как таковой и числа как такового, то в пределе (…) начинается, рождается, а в пределе (…) завершается и наглядно рисуется такая оформленность числа, которая хотя и пребывает в полной с ним неразрывности, но уже осязательно на нем обрисовывается, выпукло на нем выступает и оказывается в значительной мере доступной для изолированного созерцания. В понятии (…) дано наиболее наглядно это совокупное содержание границы величины и ее внутреннего содержания — в конкретно выявленном взаимоотношении того и другого. Здесь наиболее зрелый плод совокупного полагания вещи вместе с ее смысловой образностью и очерченностью.

5. Следовательно, остается только отбросить то, ради чего данная образность есть образность, и мы получим уже чистую самостоятельную числовую образность, созерцаемую не на чем–нибудь другом и не в отношении чего–нибудь другого, а вполне самостоятельно, образность как таковую, как новую и самодовлеющую субстанцию. В категориях непрерывности, прерывности и предела числовая образность была хотя и положена, но эта положенность была связана здесь с формой и степенью положенности самого числа и потому получала не общую, а частную, вполне специфическую структуру. Это мешало числовой образности быть свободной структурой, и ее нельзя было вписать в таблицу основных математических категорий как самодовлеющую. Она тут пока еще играет второстепенную роль, и значение ее вполне прикладное. Но исключим из этого едино–совокупного обстояния образа–вещи числа его «вещественную» стихию и сосредоточимся на образности как таковой, на образности как самоцели, и — мы получаем уже совершенно новую категорию числа, вполне свободную и самоцельную; и тут уже не будет антитезы внутреннего и внешнего как основного и единственного фактора (при котором граница была бы чем–то второстепенным, хотя и само собою разумеющимся), но тут будет обратная тому ситуация: основную и единственную роль играет здесь сама граница, сама образность и оформление, а антитеза внутреннего и внешнего оттесняется здесь назад и начинает играть роль только смыслового фона, совершенно необходимого и очень нужного, но второстепенного и как бы окаймляющего выпукло данную и резко выступившую вперед очерченность и фигурную сконст–руированность.

Число, данное как чисто смысловая образность и фигурность числа, как отделенная от его внутренно–внешне–го содержания чистая его структурность, и есть мнимое, или комплексное, число.

К анализу этой глубочайшей категории математики мы теперь и обратимся.

§ 105. [с)] Мнимая (комплексная) величина. Общее понятие.

Мнимая величина может быть рассматриваема с разнообразных точек зрения, и в самой математике дается отнюдь не какое–нибудь одно–единственное ее определение, хотя, безусловно, все эти различия являются только разными сторонами одной и той же диалектической конструкции, и надо уметь их так связать, чтобы действительно получалась единая конструкция.

1. Одно из самых первых и элементарных определений мнимой величины — это то, что обыкновенно обозначается как i и представляет собою квадратный корень из отрицательной единицы, &#8730;&#8722;1. Это вполне слепое определение мнимой величины, получаемое как необходимое завершение понятия числа, совершенно не раскрыто в математике по существу; и, кажется, можно с полным правом сказать, что никто ровно ничего не понимает в этом выражении &#8730;&#8722;1. В руководствах по математике эта мнимая величина трактуется просто как необходимое следствие из желания проводить любые действия над любыми величинами. Если бы мы не извлекали квадратного корня из отрицательных величин, то в силу этого отпали бы весьма значительные операции, появляющиеся тем не менее вполне естественно, в порядке самых обыкновенных вычислительных приемов. Операция извлечения корня из отрицательной величины появляется вполне естественно, и поэтому волей–неволей приходится считаться с нею. Но что она значит, что это, собственно, значит—извлечь квадратный корень из отрицательного числа — этого, можно сказать, ровно никто не знает. И потому это пресловутое i вводят нехотя, как бы стыдясь столь неприличной вещи, и если вводят, то сейчас же стремятся избавиться от этого i и перейти к «вещественным» числам и операциям.

Это наивное и смешное отношение к числу / было результатом определенной эпохи вульгарного материализма, видевшей конкретное только в вещественном и не подозревавшей того, что подлинная конкретность не в грубом веществе, но в диалектике бытия в жизни, в рождении и пребывании живых противоречий действительности. Поэтому нашей задачей является не стыдливо и боязливо прикрыть этот досадный символ i и сделать вид, что тут нет ничего особенного и что даже самое это / как бы не существует, а, наоборот, дать себе отчет в полной ясности мысли о природе мнимой величины и без всяких ограничений и стеснений вскрыть решительно все те категории мысли, которые вошли в это i и определили собой его общелогическую и, в частности, диалектическую структуру.

2. Что такое (—1) и что такое «квадратный корень»? Единица есть полагание, утверждение. В отличие от всякого другого числа единица есть полагание как такое. Положительная единица есть фактическая субстанция, единица же сама по себе есть полагание мысленное, смысловое; это идеальная субстанция. Отрицательная единица есть отталкивание[187]от положительной единицы, т. е. от фактически положенной субстанции, и — отталкивание снова в идеальную, смысловую область, и притом с новым содержанием. Отрицательная единица, как мы знаем из диалектики отрицательного числа, есть не просто идеальная единица (иначе она ничем не отличалась бы от абсолютной единицы), но такая «идеальная», которая возникла на основе «реальной» единицы. Она существует, но не в том смысле, как существует положительная единица; она существует только в чистой мысли, и притом не как чистая мыслимость просто (ибо в чистой мыслимости нет никакого отрицания), но как чистая мыслимость, отталкивающая реальную данность. Это такая мыслимость, т. е. такое оформление реальной субстанции, в результате которого последняя мыслится отсутствующей. Уже по одному этому (— 1) есть некое представление единицы, вернее, некий ее образ. Ибо та единица, которая существует в реальной единице как именно единица, но в то же время отталкивает от себя реальную положенность самой единицы, — такая единица есть образ, смысловая структура единицы, идея единицы. Ведь в бытии есть или факты, или идеи, или объединение того и другого — больше нет ничего.

Однако в этом смысле отрицательная единица разделяет судьбу вообще всех отрицательных чисел. Отрицательность есть вообще некая мыслимость по сравнению с положительными числами, которые всегда даны как реальность. «Мнимость» есть, конечно, мыслимость, но не просто одна голая мыслимость. Тут возникает вопрос о квадратном корне.

3. В диалектике операции извлечения корня мы увидим, что извлечение корня и возведение в степень относятся к области алогического становления, в частности к области органического роста бытия, в отличие от остальных арифметических действий, которые мыслятся как механические или усложненно–механические. Возводя в степень, мы заставляем данное число повториться в каждом своем элементе; а извлекая корень, мы находим в нем то первоначальное основание, в подлинном смысле «корень», из которого [бытие ] появилось путем самоповторения во всех своих отдельных элементах. Это и есть признак организма — вещественное, субстанциальное повторение целого в каждой отдельной части и вытекающая отсюда невозможность существования этих частей в изолированном виде. Что значит в этом смысле извлечь квадратный корень?

Это значит найти такое первоначальное основание отрицательности, откуда она появляется путем однократного самоповторения во всех своих основных элементах. Откуда появляется мыслимость единицы (отстраняющая реальную субстанцию единицы) и откуда само отрицание, если процесс этого появления есть некое самоповторение? Отрицательная единица есть чистая мыслимость единицы, отстраняющая, отталкивающая реальную единицу; откуда происходит это отстранение и отталкивание, и почему оно есть результат некоего самоповторения, и что именно повторяет тут себя самого в себе же самом?

4. Вот тут–то и рождается категория твердой очер–ченности и оконтуренности числа, той его абсолютной неупругой структурности и образности, перспективности, которая впервые и рождает самое число. Как возможно отрицание чего–либо? Только путем проведения границ, точно отделяющих его от всего иного. Мыслить отрицание единицы — значит мыслить ее границы со всем прочим, что не есть она сама, границы, отделяющие ее от всего прочего. Значит, корень отрицания единицы есть корень, из которого вырастают границы единицы, отделяющие ее от всего прочего. А квадратный корень из отрицательной единицы есть корень, из которого вырастают границы единицы, если их повторить на всем их протяжении. От чего отталкивается мысленная единица, когда она функционирует как отрицательная? Она отталкивается от <…> субстанции единицы, но это может значить только то, что реальная субстанция единицы имеет твердые контуры, от которых и происходит отталкивание. Раз ставится вопрос об отталкивании, то тем самым предполагается, что есть нечто твердое, от чего и происходит отталкивание. Следовательно, реальная субстанция мыслится здесь как твердая, т. е. имеющая определенную негибкую форму. Надо, чтобы эта форма была; и надо, чтобы от этой формы мы отошли и созерцали ее издали, чтобы вообще могло состояться суждение о границах и, значит, об отрицании. Когда проведены границы, то, как это ни [не ]обходимо для четкого созерцания предмета, границы, сами по себе взятые, тем самым еще не фиксируются специально. Ограниченность имманентно сопровождает всякую мыслимость, но чтобы созерцать специально ограниченность, границы, надо выйти за пределы этих границ или, точнее, надо просто различать уже не просто всю вещь от инобытия, но только одну ее границу от инобытия, а это значит — еще раз повторить эту границу в ней же самой, т. е. изменить эти границы, сохраняя не форму, но[188]какую–нибудь (пусть хотя бы бесконечно–малую—этого вполне достаточно) величину. Это и значит извлечь квадратный корень из отрицательной единицы.

Таким образом, — 1 есть не что иное, как полагание твердо очерченной границы, или перспективно сформулированного образа, для отвлеченно взятой единицы, осуществление и утверждение оконтуренности единицы.

5. Тут еще не вскрыты все стороны мнимой величины, но покамест указана только одна существенная сторона. Однако тут вскрыто все, что содержится в конструкции у/— 1. Как скоро увидим, другие методы представления мнимой величины дадут и другие стороны в диалектике самой категории мнимого. Прежде чем перейти к этому, повторим еще раз в строго последовательной форме диалектику &#8730;&#8722;1.

a) Единица есть утверждение, субстанция, и отвлеченная, абсолютная единица есть утверждение[189]и субстанция в мысли, в идее, идеальное утверждение. Положительная единица есть новое утверждение, т. е. утверждение утверждения, реальное утверждение идеального утверждения. Отрицательная же единица есть новый переход в сферу идеи и смысла, но переход не с целью забвения реальности (тогда это была бы абсолютная единица), но с целью активного ее отрицания. «Минус единица» есть мысленная, идеальная единица, отталкивающая реальную единицу. Другими словами, (—1) есть оформление единицы, взятое в активном отстранении реальности единицы. Такое оформление реального, которое отстраняет саму реальность, есть чистая форма <…>, его смысловой образ.

b) Извлечение корня из какого–нибудь числа есть операция, отражающая то первоначальное ядро числа, откуда появилось само число через свое алогическое становление путем реального самоповторения и самоотражения себя самого в себе же самом, т. е. это есть арифметическое выражение живого роста организма. Извлечение квадратного корня из числа есть операция выявления его указанного ядра, когда оно дорастает до данного числа путем однократного самоповторения (самоот-, следовательно, есть выявление такого первоначального ядра и основания смысловой образности числа, когда оно дорастает до этой образности путем однократного самоповторения (самоотражения, самоотличения).

d) [1.] Это первоначальное ядро и основание числа должно поэтому претерпеть самоповторение, т. е. прежде всего самоотличение, но не то первоначальное самоотличение, без которого это ядро вообще не могло бы существовать «…) правилам диалектики), но то самоотличение, которое отличает от инобытия, не есть принцип, а уже утвержденный принцип, т. е. отличает реальность с определенными границами, самоотличение, которое отличает от инобытия самые границы числа; это самоповторение есть результат квадратности извлекаемого здесь корня. 2. Это основное ядро, или основание, числа должно здесь мыслиться как нечто твердое и абсолютно негибкое, ибо оно выдерживает на себе отталкивание, приносимое смысловой образностью (в случае отрицания), т. е., другими словами, искомое ядро, или основание смысловой образности, числа должно быть твердой, абсолютно твердой оконтуренностью числа, и только тогда эта последняя и может обусловить собою, путем самопротивопоставления, конкретно–смысловую образность числа.

з. Наконец, поскольку это самопротивопоставление и самоотрицание мыслится, по условию, органически, как живой рост организма, оно должно пониматься так, чтобы указанное ядро, т. е. первоначальная, абсолютно–твердая оконтуренность, органически дорастало до конкретной образности числа, чтобы оно было живым скелетом живого числового тела. Это значит, что в той деформации, которую претерпевает [числовой] контур, целиком присутствует самый контур, т. е. то целое, бывшее вначале, остается целым и для того нового, что из него получилось путем деформации.

е) Сводя все вышеуказанное к одной максимально сжатой формуле, можно сказать так. Все, что мыслится, и, следовательно, также число, чтобы мыслиться, должно иметь свои границы, но это еще не значит, что тут фиксируются самые границы. Чтобы фиксировать самые границы, необходимо уже их отличать как таковые от всякого инобытия. Но это значит, что тут фиксируются не границы, но границы границ, т. е. форма границ, образ ограниченности. Мнимая величина и [есть] форма и вид, образ ограничения числа, форма формы числа, число как смысловая перспектива.

Эти пять тезисов с достаточной ясностью и полнотой вскрывают диалектическую структуру числа /, хотя, повторяем, само представление мнимости как &#8730;&#8722; 1 вызывает только образ из существенных сторон этой категории. Не трудно сообразить, что это за стороны. Ведь исходным пунктом тут является момент единицы. Все прочее, что творится, творится с единицей. Единица есть смысловое полагание, утверждение. Следовательно, образность числа, к которой мы пришли, взята здесь с точки зрения своей положенное™; очертания числа даны тут в своем субстанциальном полагании. Ведь во всяком предмете мысли есть материя, есть идея и есть синтез того и другого в цельной вещи. Материя обусловливает собою гипостазирование, утверждение идей.

И &#8730;&#8722;1 дает как раз ту сторону числовой образности, которая есть ее субстанциальная положенность. Указанная форма формы числа дана тут пока на стадии полагания, утверждения, материальной данности. Следовательно, должна быть еще идея этой формы и образности, ее цельная вещественность. К этому теперь и перейдем.

6. а) По нашей основной таблице типов числа мнимая величина должна явиться, между прочим, диалектическим синтезом нуля и бесконечности. Этот вопрос надо проанализировать по существу.

Нуль есть синтез положительного и отрицательного числа, или, по общему правилу диалектического синтезирования, граница между положительным и отрицательным числом; проведя границу вокруг положительного числа и тем отличивши его от бесконечной стихии отрицательности, мы и получаем этот синтез — ограниченность положительного числа. Далее, бесконечность есть диалектический синтез целого и дробного; это — граница между тем и другим. Дробное — то, чем является целое в своем инобытии, если отнять само целое и взять только инобытийные корреляты целого. Если теперь перенести в это инобытие и само целое, то это целое окажется полной недостижимостью для тех частей, из которых состоит инобытие целого, потому что инобытие есть всегда неразделимость, а, подвергнутое счету, оно есть всегда неисчислимость. Потому граница, отделяющая целое от дробного в этом диалектическом синтезе, состоит из бесконечного количества точек; она есть, короче говоря, бесконечность.

Эти две границы, нуль и бесконечность, находятся, несомненно, в положении диалектического противостояния. Нуль, отделяя положительные числа от отрицательных, является только одной точкой, рассекающей общую систему чисел; бесконечность же является целой[190]бесконечностью таких чисел. Это, конечно, есть диалектическая антитеза. Для уточнения можно сказать, что достаточно уже только двух точек и достаточно, чтобы расстояние между этими точками было бесконечно мало, так как уже синтез бесконечности (т. е. синтез целого и дробного) осуществляется, ибо между двумя элементами множества, как бы они близко ни были между собой, всегда можно поместить еще одну точку. Это выражается в положении, что множество вещественных чисел повсюду плотно. Итак, каков синтез этих двух синтезов — нуля и бесконечности и [какова] граница, совмещающая в себе обе эти границы — границу в виде одной точки и границу в виде бесконечного количества точек?

b) Синтез должен объединить в себе и тезис, и антитезис. Другими словами, должна быть такая граница, которая есть и точка, и больше, чем точка («больше, чем точка» — это, как сказано, уже есть бесконечное количество точек). Должна быть граница, которая, оставаясь точкой, в то же время содержит в себе еще по крайней мере одну точку, отличающуюся от другой; должны быть, следовательно, две точки, которые являются в го же время [единством]. Что это значит и в чем тут дело?

Тут–то мы опять и должны призвать на помощь понятие числового контура, или числовой образности. Когда мы имеем некое <…> А, оно остается неоформленным вплоть до момента отличения его от не–А и отождествленным с самим собою. Только когда мы скажем «А есть А», — возможным делается оформление этого А и четкое отличие его от всего прочего. Но, конструируя это содержание «А есть А», мы как–то должны отличать А от А, т. е. от него же самого; иначе самое это суждение «А есть А» окажется бессмысленным. Итак, А не только отличается от нс–А, но отличается и от самого себя, — это мы хорошо знаем из общей диалектики. Но из этой же общей диалектики мы знаем, что это значит — отличие А от самого себя. Это значит то, что А есть некое целое, имеющее части. Как целое оно отличается от себя как от состоящего из частей (целое отличается от совокупности своих частей). Следовательно, суждение «А есть А», в сущности, есть суждение «А как целое <.··.> А как совокупность частей». Но как раз это самое мы утверждаем, когда отождествляем границу в смысле нуля с границей в смысле бесконечности.

Граница в смысле нуля есть последняя неделимая целость точки, та самая развернутая точка, которая еще не имеет никаких частей. Такое целое мы в общей диалектике всегда и аналогизируем с неделимой точкой. Граница же в смысле бесконечности есть совокупность некоей суммы точек, — по крайней мере двух точек; тут — целое раздроблено, и раздробленные точки объединены в некую сумму. Стало быть, отождествляя (и, следовательно, синтезируя) границу–нуль с границей–бесконечностью, мы попросту категориально фиксируем границу–нуль, как бы говорим, что «граница–нуль есть граница–нуль», т. е. как бы проводим эту границу–нуль жирной линией, делаем ее твердой, абсолютно негибкой, создаем абсолютно крепкий контур, получаем эту самую границу границы, или форму границы, о которой шла речь выше.

c) Итак, мнимое число есть также диалектический синтез нуля и бесконечности.

[К] этому заметим, что в анализе понятия бесконечности мы сталкивались с одним недостаточным и неполным видом синтеза нуля и бесконечности, именно с умножением нуля на бесконечность. Это умножение дает неопределенную величину — как вещественную, так и мнимую. Однако этот синтез, как мы там указали, неполный. Нуль и бесконечность не функционируют тут как логические категории, но лишь как счетные величины. В то время как при диалектическом синтезировании обе категории входят в синтез вполне равноправно и равномерно, при счетной операции умножения сомножители отнюдь не равноправны. Всякое умножение имеет своей основной темой, главным своим предметом — множимое, и о нем тут только и идет разговор; множитель же только показывает, что с множимым творится в ино–бытийной сфере. Поэтому синтез [перемн ]ожения — частичный, а именно счетно–количественный, а синтез диалектический— полный равномерный, а именно логически–категориальный.

d) Наконец, важно ощущать точную разницу между моментом числа выражаемым при помощи — 1, и его же моментом, выражаемым через синтез нуля и бесконечности. В первом случае в твердой оконтуренности и четкой смысловой фигурности, или образности, числа выдвигается, как мы знаем, момент полагания этой образности. Во втором случае, поскольку речь идет о проведении самой границы, о ее, так сказать, жирном черчении, нужно видеть противоположный момент образности, не субстанциальную ее положенность, но ее очерченность, картинность, что, несомненно, является чем–то противоположным первому случаю. Раз там субстанция числовой образности, то тут ее идея. И нет ли теперь такого представления о мнимой величине, где она сразу была бы дана и как субстанция числовой фигуры <…>, и как ее идея?

Таким синтетическим представлением мнимой величины является т. н. гауссовское представление мнимости.

Поиск по сайту: