 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Минор и алгебраическое дополнение
Рассмотрим элемент аij в определителе III порядка. При вычеркивании i-строки и j-столбца не вычеркнутыми останется определитель II порядка. Этот определитель II порядка будем называть минором элемента aij и обозначать Mij. Таким образом, каждому элементу соответствует минор.
Например, дан определитель
 a11
| a12 | a13 |
| a21 | a22 | a23 |
| a31 | a32 | a33 |
Рассмотрим элемент а12. После вычеркивания 1-й строки и 2-го столбца остался не вычеркнутым определитель
| а21 | а23 | =М12 |
| а31 | а33 |
Алгебраическим дополнением элемента называется определитель минора этого элемента, взятый со знаком «+», если сумма номера строки и номера столбца – четное число; «-», если сумма номера строки и номера столбца – нечетное число.
Будем обозначать алгебраическое дополнение Аij.
Аij = ΔMij (- 1)i+j
Так, например, А12 = - ΔМ12, т.к. 1+2=3,(-1)3 = -1
Основная теорема
о разложении определителя
Теорема: Определитель равен алгебраической сумме произведений элементов любой строки или столбца на их алгебраические дополнения.
Другими словами, определитель может быть разложен по любой строке или столбцу.
Доказательство: Разложим определитель III порядка по 1-й строке или по 2-му столбцу. Так как определитель – это число, то очевидно, что при любом разложении должно получиться одно и то же число.
 а11
| а12 | а13 | = а11А11 + а12А12 + а13А13 = | |||||||
| а21 | а22 | а23 | ||||||||
| а31 | а32 | а33 | ||||||||
| =а11 | а22 | а23 | - а12 | а21 | а23 | +а13 | а21 | а22 | = | |
| а32 | а33 | а31 | а33 | а31 | а32 | |||||
| =а11(а22а33 – а32а23) – а12(а21а33 – а31а23) + а13(а21а32 – а31а22)= | ||||||||||
| = a11a22a33 – a32a23a11 – a33a21a12+ a12a23a31 + a13a21a32 – a31a22a13 |
| а11 | а12 | а13 | = а12А12 + а22А22 + а32А32 = | |||||||
| а21 | а22 | а23 | ||||||||
| а31 | а32 | а33 | ||||||||
| = - а12 | а21 | а23 | + а22 | а21 | а23 | - а32 | а11 | а13 | = | |
| а31 | а33 | а31 | а33 | а21 | а23 | |||||
| = - а12(а21а33 – а31а23) + а22(а21а33 – а31а23) – а32(а11а23 – а21а13)= | ||||||||||
| =– a33a21a12 + a12a23a31 + a11a22a33 – a31a22a13 – a32a23a11 + a13a21a32 |
Нетрудно видеть, что результат получился одинаковый (т.е. выбор строки или столбца не влияет на результат). Кроме того, если сравнить данный результат с вычисленным по правилу Саррюса (лекция 1), то видно, что они одинаковы.
Используя теорему о разложении, можно вычислять определители.
Например,
| = 7 | - 8 | + 9 | = | |||||||||
 7
| ||||||||||||
| = 7(12 – 15) – 8(6 – 12) + 9(5 – 8) = | ||||||||||||
| = 7(- 3) – 8(– 6) +9(- 3) = - 3 (7 – 16 +9)=0 |
Особенно рационально использовать теорему о разложении в случае, когда в строке или столбце есть нулевые элементы.
| = 5 | ||||||
 4
| = 5(9 – 21) = - 60 | |||||
Раскладывая данный определитель по 2-му столбцу, все произведения элементов на их алгебраические дополнения равны «0», так как сами элементы равны нулю, кроме одного а22 = 5.
Поиск по сайту: