Свойства определителей. Использование свойств определителей позволяет избежать трудоемких расчетов, при вычислениях определителей

Использование свойств определителей позволяет избежать трудоемких расчетов, при вычислениях определителей.

1. Определитель не изменится, если поменять местами любые строки и столбцы, не меняя их номера. Такое действие будем называть транспонированием и обозначать

Доказательство:

Дан определитель

а11	а12	а13
а21	а22	а23	(1)
а31	а32	а33

Поменяем местами 1-ю строку и 1-й столбец, 2-ю строку и 2-й столбец,
3-ю строку и 3-й столбец.

Если исходный определитель (1) разложить по 1-й строке, то он будет равен а₁₁А₁₁ +а₁₂А₁₂ +а₁₃А₁₃.

Определитель (2) разложим по 1-му столбцу, и он будет равен а₁₁А₁₁ + а₁₂А₁₂ + а₁₃А₁₃

Равенство (1) и (2) определителей очевидно.

2. Определитель поменяет знак, если переставить любые 2 строки или 2 столбца.

Доказательство:

а11	а12	а13
а21	а22	а23	(1)
а31	а32	а33

Можно поменять местами 2 рядом стоящие строки: 1-ю и 2-ю (или 2-ю и 3-ю); либо через строку: 1-ю и 3-ю.

Получим

Если (1) определитель разложить по 1-й строке, а (2) - по 2-й, то числовые значения не изменятся, но алгебраические дополнения во (2) определителе все поменяют знаки на противоположные, так как в (1) определителе элемент а₁₁ стоял на «четном» месте (в 1-й строке и в 1-м столбце: 1+1=2), а во (2) определителе а₁₁ стал на «нечетное» место (во 2-й строке и в 1-м столбце: 1+2=3). Таким образом, определитель поменял знак.

Переставим местами 1-ю и 3-ю строки. Получим определитель и разложим его по 3-й строке.

а31	а32	а33	=а11	а32	а33	- а12	а31	а33	+а13	а31	а32
а21	а22	а23	а22	а23	а21	а23	а21	а22
а11	а12	а13

Отсюда видно, что поменяли знаки все миноры элементов 1-й строки, так как в самих минорах переместились рядом стоящие строки.

Таким образом, определитель изменил знак на противоположный.

3. Определитель, у которого две одинаковые строки или два столбца, равен нулю.

Предположим, что определитель равен некоторому отличному от нуля числу Δ. Тогда по свойству (2) при перестановке 2-х строк (или 2-х столбцов) определитель должен поменять знак и стать равным (-Δ). Если переставлять 2 одинаковые строки (или столбцы), то очевидно, что должно выполняться равенство

Δ = - Δ

Следовательно, Δ = 0, что и требовалось доказать.

4. Если в определителе элементы некоторой строки (или столбца) имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя

Доказательство:

Разложим определитель по элементам 1-го столбца

ка11	а12	а13
ка21	а22	а23	=(ка11 )А11+(ка21 )А21+(ка31 )А31=
ка31	а32	а33
			=к(а11А11 + а21А21 +а31А31)=
			а11	а12	а13
		=к	а21	а22	а23
			а31	а32	а33

5. Если в определителе элементы некоторой строки (или столбца) представляют собой сумму 2-х или более слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму 2-х и более определителей.

Доказательство:

Разложим определитель по элементам 1-го столбца

6. Определитель не изменится, если к элементам некоторой строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (или другого столбца), умноженные на некоторый коэффициент

Доказательство:

Дан определитель

Прибавим к элементам 1-го столбца соответствующие элементы 3-го столбца, умноженные на коэффициент к.

Получим определитель и разложим его на сумму 2-х определителей по свойству (5).

а11+ка13

а12

а13

а11

а12

а13

ка13

а12

а13

а21+ка23

а22

а23

=

а21

а22

а23

+

ка23

а22

а23

а31+ка33

а32

а33

а31

а32

а33

ка33

а32

а33

а11

а12

а13

а13

а12

а13

=

а21

а22

а23

+ к

а23

а22

а23

а31

а32

а33

а33

а32

а33

Второй определитель по свойству (3) равен 0. Свойство (6) позволяет делать линейные преобразования над строками и столбцами, обнулять элементы строк и столбцов и вычислять определители по теореме о разложении понижая порядок определителя.

7. Алгебраическая сумма произведений элементов любой строки (или столбца) на алгебраические дополнения элементов другой строки (или столбца) равна 0.

Доказательство:

Дан определитель

Составим алгебраическую сумму произведений элементов 1-й строки, например, на алгебраические дополнения элементов 2-й строки.

Получим

Лекция 3.
Определители n-го порядка.
Вычисление определителей

Определителем n-го порядка называется число Δ, соответствующее таблице элементов из n строк и n столбцов и равное алгебраической сумме произведений элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца.

Совершенно очевидно, что, пользуясь определением, трудно перебрать все возможные произведения элементов по одному из каждой строки и столбца, кроме того, неизвестно, как выбирать знаки произведений, входящих в алгебраическую сумму.

Теорема о разложении справедлива для вычисления определителя любого порядка: определитель равен алгебраической сумме произведений любой строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

Минор М_ij элемента а_ij в определителе n-го порядка – это определитель (n-1)-го порядка, который остался после вычеркивания i-строки и j-столбца.

Алгебраическое дополнение А_ij элемента а_ij – это число, соответствующее определителю М_ij, взятому со знаком «+», если сумма (i+j) – четная, и «-», если (i+j) – нечетная.

Таким образом, определитель n-го порядка может быть разложен на сумму n определителей (n-1)-го порядка, каждый из которых в свою очередь может быть разложен на сумму (n-1) определителя (n-2)-го порядка и т.д.

Этим способом может быть вычислен определитель любого порядка, хотя это и не самый радикальный метод.

Если же в определителе n-го порядка есть столбец (или строка), состоящий (состоящая) из нулевых элементов, кроме одного, то, раскладывая определитель именно по этому столбцу (или строке), можно понизить определитель на один порядок.

Например,

a11	0	0	¼	0
a21	a22	a23	¼	a2n	= а11	a22	a23	¼	a2n
¼	¼	¼	¼	¼	¼	¼	¼	¼
an1	an2	an3		ann		an2	an3	¼	ann

Здесь видно, что, раскладывая по элементам 1-й строки, только элемент а₁₁ в произведении со своим алгебраическим дополнением дает отличное от нуля произведение.

Все свойства определителей, сформулированные и доказанные в лекции 2, справедливы и для определителей n-ного порядка. Используя эти свойства, можно делать линейные преобразования над строками и столбцами, добиваясь обнуления элементов строк (или столбцов) кроме одного (условно назовем его «главным элементом»).

Например,

(из 2-го столбца вынесли общий множитель 2, из 4-го столбца – 3)

Любой из элементов этого определителя может быть условно назван «главным элементом». Лучше в качестве «главного элемента» выбирать «1» либо «- 1», чтобы избежать дробных вычислений.

В качестве главного элемента выберем, например, «1», как элемент а₁₁

1		44	22	=					=
- 2		7-8	- 3-4	- 2
	- 3	-58	14		- 5	-13	- 3	- 5	-13	- 3
		412	26			- 8	- 4		- 8	- 4

Используя свойство 6, можно за счет а₁₁ обнулить элементы строки, в которой стоит «главный элемент» (или столбца, в котором стоит «главный элемент»), кроме этого элемента. Предположим, что необходимо обнулить элементы строки. Тогда столбец, в котором стоит «главный элемент», назовем условно главным столбцом. То есть 1-й столбец – главный.

Подбирая коэффициенты и складывая 1-й столбец (или вычитая, если коэффициент отрицательный) по очереди со 2-м, 3-м, 4-м, можно добиться, что элементы 1-й строки будут равны 0, кроме а₁₁. Так, чтобы обнулить а₁₂, необходимо 1-й столбец вычесть из 2-го; чтобы обнулить а₁₃, необходимо 1-й столбец умножить на 4 и вычесть из 3-го; чтобы обнулить а₁₄, необходимо элементы 1-го столбца умножить на 2 и вычесть из 4-го. Теперь все элементы 1-й строки, кроме главного, равны «0».

Раскладывая определитель по 1-й строке, понизим его порядок с 4-го до 3-го.

Определитель 3-го порядка также может быть понижен до 2-го, который легко вычисляется.

4			=				=
- 512	-1345	-33
116	-860	-44
=			= 4			=
= 4(91 – 136) = - 180

Так как в исходном определителе 4-го порядка были вынесены множители 2 и 3, то необходимо для окончательного ответа сделать умножение
2 * 3(-180) = - 1080.

В качестве «главного элемента» в самом начале вычисления можно было выбрать любой другой элемент. На результат выбор элемента не влияет. Например,

Очень часто в определителях нет строк (столбцов) с кратными элементами, нет элементов, которые по абсолютной величине равны «1», т.е. представляет затруднение выбор «главного элемента». Существует много способов искусственно получить «единичные» элементы, за счет которых можно обнулять элементы строк (столбцов), избегая дробных вычислений. Эти способы часто индивидуальны, зависят от опыта и интеллекта вычисляющего. Однако существуют и некоторые стандартные приемы.

Например,

В данном определителе нет единиц. Все элементы не кратные. Можно этот определитель разложить по строке (столбцу) на сумму 4^х определителей 3-го порядка. Однако, если а₁₁ =5 представить, как (6 - 1), а все «6»-ки в 1-м столбце (или в 1-й строке), как (6 - 0), то

6-1				=					-					=					-
6-0													-1	-2	-3
6-0													-2	-1	-3
6-0													-3	-2	-1
-				= -6				-				=
= - 6 * 12 – 24 = - 24(3 + 1) = - 24 * 4= - 96

Здесь по свойству 4 определитель разложен на сумму двух определителей 4-го порядка, каждый из которых понижен до 3-го. Определители III порядка могут быть вычислены по правилу Саррюса, либо по теореме о разложении с использованием (или не использованием) линейных преобразований над строками (столбцами).

Лекция 4.
Системы линейных уравнений.
Метод Крамера

Системой линейных уравнений n-ного порядка называется система следующего вида:

а₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃ + … + a_1nx_n = b₁

а₂₁x₁ + a₂₂x₂ + a₂₃x₃ + … + a_2nx_n = b₂

………………………………………

а_m1x₁ + a_m2x₂ + a_m3x₃ + … + a_mnx_n = b_m

(x₁, x₂, …x_n) – n неизвестных, связанных между собой линейной зависимостью;

(b₁, b₂, …b_m) - свободные члены;

a_ij – коэффициенты при j - неизвестных в i -м уравнении.

Видно, что в системе m уравнений и n неизвестных. В общем случае m¹n.

Решением системы называются конкретные числа (x₁^*, x₂^*, x₃^*_{, …,} x_n^*), при подстановке которых в систему уравнения обращаются в тождества.

Система называется однородной, если свободные члены уравнений все равны «0».

Система может иметь одно или бесконечное множество решений. В этом случае систему будем называть совместной определенной или соответственно совместной неопределенной.

Система может не иметь ни одного решения. Такую систему будем называть несовместной. Однородная система всегда совместна, т.к. имеет, по крайней мере, одно решение. Действительно, если в уравнение однородной системы подставить х₁=0, x₂=0, …, x_n=0, то все уравнения обратятся в тождества 0º0.

Такое нулевое решение (0, 0,….,0) будем называть тривиальным. Тем не менее, однородную систему исследуют для нахождения других, нетривиальных решений, конечно, если они существуют.

Существуют различные методы решения систем линейных уравнений.

Поиск по сайту: