Матричные уравнения

Рассмотрим систему линейных уравнений n-го порядка

а₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃ + … + a_1nx_n = b₁

а₂₁x₁ + a₂₂x₂ + a₂₃x₃ + … + a_2nx_n = b₂ (1)

а₃₁x₁ + a₃₂x₂ + a₃₃x₃ + … + a_3nx_n = b₃

_{…………………………………………………………}

а_n1x₁ + a_n2x₂ + a_n3x₃ + … + a_nnx_n = b_n

Главный определитель системы – определитель квадратной матрицы А, составленный из коэффициентов при неизвестных

Неизвестные (х₁, х₂,..., х_n) представим как матрицу – столбец

Х=	х1
х2
...
хn

Правые части уравнений представим как матрицу – столбец свободных членов

В=	b1
b2
...
bn

Тогда систему (1) можно записать в матричном виде (2)

АХ = В (2)

(2) представляет собой матричное уравнение. Если правую и левую часть этого уравнения умножить на А^-1, которая существует в случае DА¹0 (кстати говоря, по правилу Крамера система совместна в случае DА¹0), тогда получим

А^-1АХ = А^-1В,

т.к. А^-1А = Е, а ЕХ = Х, то

Х = А^-1В (3)

Сопоставим решение (3) в матричном виде с правилом Крамера

А^-1= (1/D) Ã

Х=(1/D) ÃВ

=	A11b1+A21b2+...+An1bn	=	Δх 1
A12b1+A22b2+...+An2bn	Δх 2
.....................................	:
A1nb1+A2nb2+...+Annbn	Δх n
Δх = 1	A11b1+A21b2+...+An1bn	=	b1	а12	: : : :	а1n
b2	a22	a2n
:	:	:
bn	an2	ann

Δх = 2	A11b1+A21b2+...+An1bn =	а11	b1	: : : :	а1n
a21	b2	a2n
:	:	:
an1	bn	ann

и т.д.

Δх = n	A1nb1+A2nb2+...+Annbn =	а11	а12	: : : :	b1
a21	a22	b2
:	:	:
an1	an2	bn

Тогда

Х=	Δх /D 1	, что подтверждает правило Крамера
Δх /D 2
:
Δх /D n

В общем случае, в матричном уравнении АХ=В Х, В могут быть не только матрицей–столбцом, а матрицей такого размера, что АХ существует и равно В.

Тогда

Х = А^-1В

Матричное уравнение ХА = В решается аналогично, только

ХАА^-1 = ВА^-1, АА^-1=Е, ХЕ = Х,

Тогда

Х = ВА^-1

Матричные уравнения решаются сначала в матричном виде, а затем делаются обращения нужных матриц и далее необходимые действия.

Пример.

АХВ + D = C

AXB = C – D

(A^-1A)X(BB^-1) = A^-1(C – D)B^-1

X = A^-1(C – D)B^-1

Пусть

A-1=(1/DA)Ã= 1/22		- 3

B-1=(1/DB)B = 1/25		- 4
C – D=			-			=

Проверка

АХВ + D = C

AXB = 1/275	2		7	-1	3		=
-4			-3	-4
= 1/275		-11			=1/25			=
	-11	-4
AXB+D=			+			=			, где
1		=C Уравнение решено верно.

Лекция 8.
Обращение матрицы с использованием
алгоритма Гаусса

Метод обращения матриц при помощи союзной очень громоздок уже для матриц 4–го порядка, т.к. для нахождения союзной матрицы для матрицы 4–го порядка необходимо вычислить 16 определителей 3–го порядка, для нахождения союзной матрицы для матрицы 5–го порядка – 25 определителей 4–го порядка и т.д.

Известно, что обратная матрица существует у квадратной невырожденной матрицы и сама является квадратной невырожденной и того же порядка, что и исходная.

Имеем матрицу А=[ a_ij ]_n´m, DА¹0

Причем, АА^-1 = А^-1А = Е, где Е – единичная матрица того же порядка, что А и А^-1.

Тогда рассмотрим, например, равенство

АА^-1=Е

а11

а12

…

а1n

х11

х12

…

х1n

=

...

а21

а22

…

а2n

х21

х22

…

х2n

...

…………………

..................................

.................................

аn1

аn2

…

аnn

хn1

хn2

…

хnn

...

По другому это равенство можно записать в виде n систем линейных уравнений относительно x_ij (i – номер системы), правые части которых j – столбцы матрицы Е.

a11x1j+a12x2j+...+a1nxnj= 1		: : : :
a21x1j+a22x2j+...+a2nxnj= 0
.........................................	..	..
an1x1j+an2x2j+...+annxnj= 0

Эти системы имеют один и тот же главный определитель (главную матрицу), но разные столбцы свободных членов, следовательно, их можно преобразовать к треугольному виду по алгоритму Гаусса одновременно с учетом правых частей.

Таким образом, обращая матрицу с использованием алгоритма Гаусса, можно сразу написать расширенную матрицу вида

Рассмотрим пример:

В этом примере матрица А является верхней треугольной, ее определитель D равен произведению элементов главной диагонали и D=1. Следовательно, существует обратная А^-1.

Запишем

А уже приведена к треугольному виду, следовательно, будем делать обратные преобразования Гаусса. Из последнего уравнения видно, что

х_4j =0ô0ô0ô1, это означает, что

х₄₁ = 0, х₄₂ = 0, х₄₃ = 0, х₄₄ = 1.

Найденный х_4j подставим в предпоследнее уравнение, получим

х_3j + 2 х_{4 j}=0ô0ô1ô0

или

х₃₁ +2х ₄₁ =0

х₃₁ +2*0=0

х₃₁ =0;

х₃₂ +2 х₄₂ =0

х₃₂ +2*0=0

х₃₂ =0;

х₃₃ +2 х₄₃ =1

х₃₃ +2*0=1

х₃₃ =1;

х₃₄ +2 х₄₄ =0

х₃₄ +2=0

х₃₄ = - 2

Аналогично, двигаясь снизу вверх, получим

x_2j + 2x_3j + 3x_4j= 0ô1ô0ô0

или

х₂₁ +2 х₃₁ +3 х₄₁ = 0

х₂₁ +2*0+3*0=0

х₂₁ =0;

х₂₂ +2 х₃₂ +3 х_{4 2}=1

х₂₂ +2*0+3*0=1

х₂₂ =1;

х₂₃ +2 х₃₃ +3 х₄₃ =0

х₂₃ +2*1+3*0=0

х₂₃ = - 2;

х₂₄ +2 х₃₄ +3 х₄₄ =0

х₂₄ +2(- 2)+3*1=0

х₂₄ =1;

Далее

х_1j + 2 x_2j + 3 x_3j + 4 x_4j = 1ô0ô0ô0

или

х₁₁+ 2 х₂₁+ 3 х₃₁+ 4 х₄₁ =1

х_{1 1}+2*0+3*0+4*0=1

х₁₁ =1;

х₁₂+ 2 х₂₂+ 3 х₃₂+ 4 х₄₂ =0

х₁₂ +2*1+3*0+4*0=0

х₁₂ = - 2;

х₁₃+ 2 х₂₃+ 3 х₃₃+ 4 х₄₃ =0

х₁₃ +2(- 2)+3*1+4*0=0

х₁₃ =1;

х₁₄+ 2 х₂₄+ 3 х₃₄+ 4 х₄₄ =0

х₁₄ +2*1+3(-2)+4*1=0

х₁₄ =0

Заполним обратную матрицу найденными x_ij

А-1=		-2
		-2
			-2

Сделаем проверку: умножим, например, А^-1А=Е

Лекция 9.
Минор к-го порядка. Ранг матрицы.
Вычисление ранга матрицы

Поиск по сайту: