АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Ранг матрицы. Вычисление рангов

Читайте также:
  1. II. Элементарные преобразования. Эквивалентные матрицы.
  2. SWOT- анализ и составление матрицы.
  3. Алгоритм вычисления обратной матрицы.
  4. Алгоритм вычисления обратной матрицы.
  5. Б) Вычисление тригонометрических функций.
  6. Б) с помощью обратной матрицы.
  7. Базисный минор и ранг матрицы. Теорема о базисном миноре
  8. Билет 34. Блочно-диагональная форма вещественной нормальной матрицы.
  9. Билет 35. Эрмитовы операторы и эрмитовы матрицы. Эрмитого разложение линейного оператора.
  10. Векторное и смешанное произведение векторов. Свойства и геометрический смысл. Вычисление через координаты векторов.
  11. Вычисление вероятности ЧП (карта Карно).
  12. Вычисление всех собственных значений положительно определенной симметрической матрицы

Рангом матрицы называется максимальный порядок отличных от нуля миноров Мк.

Дана матрица А=[ аij ]m´n. Ее ранг r может быть вычислен перебором всех возможных Мк, начиная с М1 до Мк. Если хотя бы один Мк¹0, а Мк+1 все равны «0», то ранг матрицы равен r = k.

Если хотя бы один Мк+1¹0, а Мк+2 все равны «0», то r = к + 1 и т.д.

Очевидно, что r = 0 матрицы, состоящей из одних нулей, и r = 1 матрицы, у которой один элемент не равен 0.

Метод вычисления ранга матрицы, вычисляя миноры, начиная с младшего порядка к старшему, называется метод окаймления.

Познакомимся с этим методом на примере.

Пример:

      -1
А=       -2
  -2 -4 -6  
        3´4

Максимальный порядок Мк, который может быть вычеркнут в этой таблице, очевидно, М3. Таких миноров - три. Если хотя бы один из них не равен 0, то ранг матрицы r(А)=3. Если они все равны 0, то необходимо перебрать все М2, которые содержатся в этой матрице, и т.д. Данный путь предполагает перебрать все Мк, начиная со старшего порядка.

Так делать можно, но это довольно длинный алгоритм.

Выберем любой элемент матрицы, отличный от 0, например, а11 =1. Этот элемент может быть рассмотрен как М1¹0.

Окаймляющий М1 минор М2=       =0.
   

Так как этот минор равен «0», то не будем его в дальнейшем рассматривать.

Будем двигаться по строке и выберем элемент а12 =2, считая его как еще один М1¹0. Окаймляющий его минор М2 слева мы уже рассматривали,

справа М2=       =0
   

 

Опять двинемся вправо по первой строке: а13 =3 и а131¹0,

окаймляющий его справа М2=     -1 =0.
  -2

Все М2, содержащиеся в 1–й и 2–й строке, равны 0. Будем рассматривать 2–ю строку и окаймляющие миноры М2, содержащиеся во 2–й и 3–й строках.

Видно, что а231, окаймляющий его М2=   -2 = 6 ¹ 0. Тогда,
-6  
найдем окаймляющий его минор 3–го порядка.
      -1  
Окаймляющий его М3=     -2 =0, следовательно,
  -4 -6    
               

максимальный порядок минора – второй, тогда r(А) = 2.

Этот метод довольно громоздок и часто труден для применения на практике. Чаще используется на практике метод вычисления ранга матрицы с использованием линейных преобразований над строками и столбцами.

К линейным преобразованиям относятся:

1. Вынесение общего множителя из некоторой строки (или столбца)

2. Сложение элементов любой строки (или столбца) с соответствующими элементами другой строки (или другого столбца) умноженные на некоторый коэффициент.

Познакомимся с этим методом на примере.

Пример:

Вычислить ранг А.

    -4     -1
А=   -3 -1 -5 -7
    -7   -5 -8

Выберем любой элемент, не равный 0, и назовем его условно главным элементом. Например, а11 =1. Пусть 1–й столбец, в котором стоит этот элемент, будет главным. Тогда, подбирая соответствующие коэффициенты и складывая с соответствующими элементами других столбцов, добьемся обнуления элементов 1–й строки:

  -4     -1 ˜           ˜
  -3 -1 -5 -7     -5 -5 -5
  -7   -5 -8     -5 -5 -5

Теперь, если а11 еще раз выбрать «главным», но теперь уже в 1–й строке, то элементы 1–го обнулятся автоматически, не изменяя элементов 2–й и 3–й строк, соответствующих нулевым:

 
 


˜           ˜
    -5 -5 -5
    -5 -5 -5

Вынесем общие множители из 2–го, 3–го, 4–го и 5–го столбцов

(5, -5, -5,-5). Эти множители можно не запоминать, т.к. нас интересует только порядок минора, не равного 0, а не величина, которой этот минор равен:

 
 


˜           ˜
         
         

Пусть далее а22 =1 будет главный. За счет этого элемента, выбранного главным в строке, а затем в столбце, обнулим элементы 3–й строки, а затем 3–го, 4–го и 5–го столбцов:

       
   


˜           ˜           ˜
                   
                   

 

Вычеркнем все нулевые строки и столбцы:

       
 
   
 


˜           ˜    
             
             

Остался минор М2¹0, следовательно, ранг А равен 2, r = 2.

Лекция 10.
Теорема Кронекера – Копелли.
Решение произвольных систем
линейных уравнений

Произвольной системой линейных уравнений называется система следующего вида:

а11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1

(1) а21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2

………………………………………

аm1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm

 

Матрицей системы А называется матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных

А= а11 а12 а1n
а21 а22 а2n
………………….
аm1 аm2 аmn

 

Расширенной матрицей А¢ системы называется матрица(А½В) – это матрица А, к которой добавлен столбец свободных членов:

А¢= а11 а12 а1n b1
а21 а22 а2n b2
.........................................
аm1 аm2 аmn bm

Справедлива следующая теорема Кронекера – Копелли:

Система совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы.

Эта теорема лежит в основе методики исследования и нахождения решения произвольных систем.

Предположим, что rang(А)= rang(А¢)=r, т.е. система (1) совместна, тогда любой минор r-го порядка Мr¹0 может быть выбран в качестве базового минора.

Соответствующие ему неизвестные будут базовыми неизвестными, а оставшиеся неизвестные назовем свободными константами. Для определенности изложения, предположим, что Мr¹0 соответствует первым неизвестным: (х1, х2,..., хr), которые, таким образом, являются базовыми, тогда (хr+1, хr+2,..., хn) – свободные константы.

Перепишем систему (1) в соответствии с выбранным Мr

а11x1 + a12x2 + … + a1rxr = b1 - a1,r+1xr+1 -... - a1nxn

(2) а21x1 + a22x2 + … + a2rxr = b2- a2,r+1xr+1 -... – a2nxn

………………………………………

аr1x1 + ar2x2 + … + arrxr = br- ar,r+1xr+1 -... – arnxn

 

Все уравнения, начиная с (r+1), откинуты, т.к. они являются линейными комбинациями первых r. Это стало известно после вычисления рангов А и А¢. Все свободные константы перенесены в правые части уравнений со своими коэффициентами с противоположными знаками.

Система (2) имеет основную матрицу или главный определитель D=Мr¹0, следовательно, по правилу Крамера (2) совместна и имеет бесконечное множество решений, зависящих от свободных констант хr+1=c1, хr+2=c2,..., хn=cn-r.

Общее решение системы может быть записано в виде (3)

  x1=Dx(c1, c2,..., cn-r) / D 1
  x2=Dx(c1, c2,..., cn-r) / D 2
(3)..............................................  
  xr=Dx(c1, c2,..., cn-r) / D r
  хr+1=c1
  хr+2=c2
  .............................................
  хn=cn-r
     

 

Из общего решения (3) может быть получено любое частное. Для этого необходимо присвоить свободным константам с1, с2,..., сn-r конкретные значения и вычислить х1, х2,..., хr

Пример.

х1-4х2+2х3= - 1
1-3х23-5х4= - 7
1-7х23-5х4= - 8
    -4         -4     -1  
rang   -3 -1 -5 =rang   -3 -1 -5 -7 =2
    -7   -5     -7   -5 -8  

(проверить самостоятельно)

Следовательно, по теореме Кронекера – Копелли система совместна и ее решение может быть записано через любой базовый минор 2-го порядка, не равный 0. Например,

М2=   -4 =5
  -3

(минор находится в левом верхнем углу основной матрицы системы)

Выберем его в качестве базового минора. Тогда, неизвестные х1 и х2 – базовые, а х34 – свободные константы.

Перепишем систему в соответствии с выбранным базовым минором:

х1-4х2 = -1 – 2х3

1-3х2 = - 7 +х3+5х4

Вычислим добавочные определители при базовых неизвестных Dх и Dх:

1 2

Dх= 1 -1 – 2х3 - 4 = 3+6х3-28+4х3+20х4=
- 7 +х3+5х4 - 3
 
  = -25+10х3+20х4=-5(5-2х3-4х4)
 
Dх= 2   -1 – 2х3 =-7+х3+5х4+2+4х3=
  - 7 +х3+5х4
       
  =-5+5х3+5х4=- 5(1-х34)
         

Общее решение

х1= Dх /D=-5(5-2х3-4х4) / 5=-5+2х3+4 1
х2= Dх /D=- 5(1-х34) / 5=- 1+х3+х4 2
х31
х42

Найдем какое-нибудь частное решение. Положим, например, с1 и с2 – нули, тогда

х1= -5

х2= -1

х3= 0

х4= 0

Если с1 и с2 – какие-нибудь другие величины, то в соответствии со свободными константами.

Например:

х1= -1

х2= -1

х3= 1

х4= 1 и т.д.

Мы можем в качестве базового минора выбрать любой другой

М2¹0. Например, М2=       = -10.
  -5

Этот минор соответствует х3 и х4 в 1-м и в 3-м уравнениях.

Тогда система будет

3=-1-х1+4х2

х3-5х4=-8-3х1+7х2

 

Dх= 3 -1 – х1+4х2   = 5+5х1 +20х2=
- 8 -3х1+7х2 -5
 
  = 5(1+х1+4х2)
 
Dх= 4   -1 – х1+4х2 =-16-6х1+14х2+1+х1-4х2=
  - 8 -3х1+7х2
       
  =-15-5х1+10х2=- 5(3+х1-2х2)
         

Общее решение при таких выбранных базовых неизвестных («в такой базе»):

х11
х22
  х3= Dх /D=5(1+х1+4х2) / (-10)=-1/2(1+х1+4х2) 3
  х4= Dх /D=- 5(3+х1-2х2) / (-10)=1/2(3+х1-2х2) 4
   

Если с1 и с2 – нули, то частное решение

 
 


х1=0

х2=0

х3=-1/2

х4=3/2

Из этого общего решения можно получить частное решение, полученное из любого другого, записанного «в любой другой базе».

Например,

 
 


х1=-5

х2=-1

х3=0

х4=0 может быть получено из последнего общего при х1=-5, х2=-1

 

х1=-5

х2=-1

х3= -1/2(1-5+4)=0
х4=1/2(3-5+2)=0


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.016 сек.)