Канонические уравнения кривых второго порядка

Самый общий вид уравнения кривой второго порядка можно записать следующим образом

.

Всего существует три вида кривых второго порядка – эллипс, гипербола и парабола. Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний каждой из которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Обозначим – 2 a сумму расстояний от любой точки эллипса до фокусов F ₁ и F ₂, а расстояние между фокусами , причем . Расположим фокусы на оси Ox симметрично начала координат. Тогда условие постоянства суммы расстояний принимает вид

.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид:

.

Числа a и b называются полуосями эллипса, при эллипс превращается в окружность. Форму эллипса описывают безразмерным числом , называемым эксцентриситетом.

Гиперболой называется геометрическое место точек, абсолютная величина разности каждой из которых от двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Снова обозначим – 2 a сумму расстояний от любой точки гиперболы до фокусов F ₁ и F ₂, а расстояние между фокусами , причем на это раз . Расположим фокусы на оси Ox симметрично начала координат. Тогда условие постоянства абсолютной величины разности расстояний принимает вид

.

Каноническое уравнение гиперболы

.

Здесь . График гиперболы имеет две асимптоты , форма гиперболы описывается эксцентриситетом .

Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки, называемой фокусом, и заданной прямой, называемой директрисой.

Обозначим – p – расстояние от фокуса F параболы и директрисы. Расположим фокус на оси Ox в точке .

Уравнение называется каноническим уравнением параболы. Величина p называется параметр параболы.

Поиск по сайту: