АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Линейные преобразования линейного пространства

Читайте также:
  1. A) линейные
  2. II. Элементарные преобразования. Эквивалентные матрицы.
  3. III ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРИ ПОЛОВОМ СОЗРЕВАНИИ
  4. V2: ДЕ 11 - Векторные пространства. Линейные операции над векторами
  5. V2: ДЕ 14 – Векторные пространства. Коллинеарность векторов.
  6. V2: ДЕ 4 – Линейные отображения. Линейные операции над матрицами
  7. V2: ДЕ 5 - Линейные отображения. Умножение матриц
  8. V2: ДЕ 57 - Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения
  9. V2: ДЕ 6 - Линейные отображения. Определители второго порядка
  10. Абстрактные линейные системы
  11. Аксиомы линейного пространства
  12. Антиномии пространства и времени

Определение 35. Линейным преобразованием линейного пространства называется линейный оператор данного линейного пространства самого в себя.

j: L ® L

Всё, что было сказано о линейных операторах, очевидно, верно и для линейных преобразованиях, но некоторые формулы будут иметь более простой вид. Напомним формулы.

1. Если в пространстве Ln зафиксирован базис е = (е 1, е2, …, еn), то матрица А линейного

преобразования j: Ln® Ln имеет вид А = , столбцы которой – координаты образов     (35) базисных векторов в базисе е (формулы (35).

2. Формулы (35) в матричном виде имеют вид j (е) = е ×А.

3. Связь столбцов координат вектора и его образа: х1 = А × х.

4. Если в пространстве Ln зафиксированы два базиса е = (е 1, е2, …, еn) и е1 = (е 11, е21, …, еn1) и Т – матрица перехода от е к е1, то связь матриц линейного преобразования в этих базисах задаётся формулой А1 = Т ×А×Т–1 (36).

Определение 36. Квадратные матрицы А и В называются подобными, если существует такая квадратная невырожденная матрица С, что В = С–1×А×С.

5. Матрицы, задающие линейное преобразование в разных базисах, подобны.

6. Теорема 35. Для любых двух подобных матриц А и В одного и того же порядка n над полем Р и любого линейного пространства Ln над полем Р в Ln существуют такие базисы е и е1, что данные матрицы будут задавать в этих базисах одно и то же линейное преобразование.

Доказательство. Пусть В = С–1×А×С. Зафиксируем в Ln какой-нибудь базис. Матрица А в этом базисе задаёт линейное преобразование (пусть это j). Так как матрица С невырожденная, то С–1 может быть матрицей перехода. Пусть е1 = е ×С–1. Тогда преобразование j в базисе е1 будет иметь матрицу С–1×А× (С–1)–1 = С–1×А×С = В.

7. dim (j (Ln)) + dim (Kerj) = n.

8. Множество всех линейных преобразований пространства Ln есть тоже линейное пространство над тем же полем Р, что и пространство Ln.

Определение 37. Линейное пространство линейных преобразований линейного пространства Ln называется линейным пространством, сопряжённым пространству Ln.

Пространство, сопряжённое Ln, обозначается Ln*.

9. Пространство Ln* изоморфно линейному пространству квадратных матриц порядка n с элементами из поля Р. Следовательно, dim (Ln*) = n 2.

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)