АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования

Читайте также:
  1. II. Собственные средства банка
  2. II. Элементарные преобразования. Эквивалентные матрицы.
  3. III ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРИ ПОЛОВОМ СОЗРЕВАНИИ
  4. III. Используемые определения и обозначения
  5. V2: ДЕ 57 - Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения
  6. А). В любой ветви напряжение и заряд на емкости сохраняют в момент коммутации те значения, которые они имели непосредственно перед коммутацией, и в дальнейшем изменяются,
  7. А. Различие в величине значения отдельных удовлетворений потребностей (субъективный момент)
  8. Аксиомы линейного пространства
  9. Активы Собственные оборотные средства
  10. Алгоритм определения наибольшего по модулю собственного значения и соответствующего собственного вектора матрицы с положительными элементами.
  11. Аналого-цифровой измеритель среднего значения
  12. Б. Законодательные (представительные) органы власти краев, областей, городов федерального значения, автономной области, автономных округов

Пусть L n – линейное n-мерное пространство над полем Р, j: L n ® Ln – линейное преобразование и А –матрица этого преобразования в некотором базисе е.

Определение 40. Ненулевой вектор а называется собственным вектором преобразования j, если j (а) = а для некоторого l Î Р. Элемент l называется собственным значением преобразования j.

По определению собственного вектора, а – собственный вектор преобразования j Û $ l Î Р: j (а) = а. Перепишем это равенство в координатах, получим А× х = l× х. Отсюда А× х () × х = О, или (А –lЕ)× х = О. Итак, а – собственный вектор преобразования j Û столбец координат этого вектора является ненулевым решением уравнения (А –lЕ)× х = О (37). Матрица (А –lЕ) называется характеристической матрицей для матрицы А. Матричное уравнение (37) перепишем в виде системы уравнений. Получим, что а – собственный вектор

(38) преобразования j Û (х1, х2, …, хn) – ненулевое решение системы (38), при этом все хк принадлежат полю Р. Так как (38) система линейных однородных уравнений и число уравнений равнее числу неизвестных, то она имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда её
(39) определитель равен нулю, т.е. имеет место равенство (39). Уравнение (39) называется характеристическим уравнением матрицы А. Определитель системы, т.е. | А – lЕ |, называется характеристическим многочленом матрицы А.

Корни характеристического многочлена называются характеристическими корнями матрицы А. (Характеристический корень не всегда принадлежит полю Р). Множество всех характеристических корней матрицы А называется её спектром.

Согласно определению 40, l Î Р. Пусть l0 Î Р и является характеристическим корнем матрицы А. При l0 система (38) имеет ненулевое решение, т. е. j будет иметь собственный вектор и l0 будет собственным значением преобразования j, заданного матрицей А.

Теорема 37. Характеристические многочлены подобных матриц одинаковы.

Доказательство. Пусть В = С–1×А×С. Так как матрица перестановочна с любой матрицей, то | В – lЕ | = | С–1×А×С – lЕ | = | С–1×А×С – С–1 × (С | = | С–1× (А – lЕС | = | С–1 || А – lЕ || С | = | А – lЕ |.

Так как матрицы линейного преобразования в разных базисах подобна, то

Следствие. Матрицы линейного преобразования в разных базисах имеют один и тот же спектр.

Определение 41. Спектр матрицы линейного преобразования в каком-нибудь базисе называется спектром линейного преобразования.

Теорема 38. Собственными значениями линейного преобразования j: L n ® Ln, действующего в линейном пространстве над полем Р, являются характеристические корни этого преобразования, принадлежащие полю Р, и только они.

Доказательство этой теоремы вытекает из всего сказанного выше.

Можно сформулировать следующие правила нахождения собственных значений и собственных векторов линейного преобразования.

1. Записать матрицу данного преобразования в некотором базисе.

2. Составить характеристическое уравнение и найти его корни, принадлежащие полю Р (т.е. найти собственные значения).

3. Если l0 – собственное значение, то составить систему и найти её ненулевые решения.

Пример. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования j: L4 ® L4 (над полем R), если это преобразование в базисе е = (е 1, е2, е3, е4) имеет матрицу А.

А = . Решение. Составим характеристическое уравнение (*). Используя теорему Лапласа, раскроем определитель, получим уравнение: (*)

, [(1 – l)2 – 1]×[(1– l)×(3 – l) – 6] = 0. Возможны два случая:

1) (1 – l)2 – 1 = 0, 1 – l = ± 1. Отсюда l1 = 0, l2 = 2.

2) (1– l)×(3 – l) – 6 = 0, l2 4 l – 3 = 0, l3 = , l4 = . Итак, характеристическое уравнение имеет четыре корня, все они действительные. Поэтому данное преобразование имеет четыре собственных значения. Для каждого из них составим систему уравнений для нахождения собственных векторов.

1) При l = 0. Отсюда х2 = – х1. Подставим в третье и четвёртое уравнения, получим Отсюда

Решив последнюю систему, получим х4 = , х3 = . Если х1 = 3 С, то х2 = –3 С, х3 = 13 С, х4 = – 11 С, С – любое действительное число, отличное от нуля. Итак, собственными векторами, принадлежащими собственному значению l = 0, являются все ненулевые векторы вида (3 С, – 3 С, 13 С, –11 С).

2) При l = 2. Отсюда х2 = х1. Подставим в третье и четвёртое уравнения. Отсюда

Решив последнюю систему, получим х3 = , х4 = Если х1 = 7 С, то х2 = 7 С, х3 = –15 С, х4 = –11 С, где С – любое отличное от нуля действительное число. Итак, собственными векторами, принадлежащими собственному значению l = 2, являются все ненулевые векторы вида (7 С, 7 С, –15 С, –11 С).

3) При l = . Из первых двух уравнений х1 = х2 = 0. Подставив в третье и четвёртое уравнения, получим
Из этой системы , х3 – любое отличное от нуля действительное число. Если х3 = 2 С, то . Итак, собственными векторами, принадлежащими собственному значению l = 2 + , являются все ненулевые векторы вида (0, 0, 2 С, ).
4) При l = . Из первых двух уравнений х1 = х2 = 0. Подставив в третье и четвёртое уравнения, получим
Из полученной системы , х3 – любое отличное от нуля действительное число. Если х3 = 2 С, то . Итак, собственными векторами, принадлежащими собственному значению l = 2 + , являются все ненулевые векторы вида (0, 0, 2 С, (1 ) С).

Свойства собственных векторов.

10. Если вектор а – собственный вектор преобразования j, принадлежащий собственному значению l и a ¹ 0, то а – тоже собственный вектор, принадлежащий тому же собственному значению.

Если j (а) = l а, то j (a а) = aj (а) = a (l а) = l (a а).

20. Множество всех собственных векторов линейного преобразования j: Ln ® Ln, принадлежащих одному и тому же собственному значению (если к ним добавить нулевой вектор), есть линейное подпространство в Ln.

Пусть а и в два собственных вектора и j (а) = l а, j (в) = l в. Тогда j (a а + b в) = aj (а) + bj (в) = a (l а) + b (l в) = l (a а + b в).

30. Собственные векторы, принадлежащие различным собственным значениям, линейно независимы.

Пусть j (а) = l а, j (в) = l1 в, l ¹ l1. Если бы а и в были бы линейно зависимы, то хотя бы один из них линейно выражался через другой пусть в = a а. Так как в – собственный вектор, то a ¹ 0. Тогда j (в) = j (a а). Отсюда l1 в = a(l а), l1(a а) = a(l а), a (l1 – l) а = 0. Но в левой части a ¹ 0, l1 – l ¹ 0, а ¹ 0. Противоречие. Следовательно, а и в – линейно независимы.

40. Если в базисе е = (е1, е2,..., ек, …, еn) вектор ек – собственный вектор линейного преобразования j, принадлежащий собственному значению l, то в к -ом столбце матрицы этого преобразования на всех местах, кроме к -го, стоят нули и акк = l.

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.)