Понятие неоднородной и однородной системы линейных уравнений. Размерность и базис пространства решений однородной системы

подпрост-вом прост-ва Kⁿ , и следовательно, само явл линейным прост-вом. Теорема: Размерность прост-ва L однородной системы линейных уравнений с n-неизвестными и матрицей ранга r равна: dimL=n-r. Фундаментальной1 системой решений(ФСР) назыв любой базис прост-ва L решений этой системы. Т.к. у однородной системы с n-неизвестными, и матрицей ранга r dimL=n-r, то любая совокупность из n-r линейнонезависимых решений образует ФСР. Система назыв неоднородной, если хотябы 1 ее свободный член отличен от 0,- неоднородная система. Однородная система линейных уравнений получается из системы при b₁=b₂…=b_n=0 назыв приведенной или соответствующей однородной системой для неоднородной системы.

__

Отыскание всех решений общей линейной системы. Условие совместности. Условие определенности и неопределенности систем линейных уравнений

Рассмотрим общую систему m линейных уравнений с n неизвестными. Предположим, что эта система совместна, и что ранг ее основоной и расширенной матрицы равен r. Пусть базисный минор находится в левом верхнем углу этой матрицы. В матрице mn минор порядка r назыв базисным, если он ≠0, и все миноры порядка r+1 и выше =0, или не сущ вовсе. Каждое из r+1 и далее уравнение представляет собой линейную комбинацию, т.е. всякое решение первых r уравнений системы обращают в тождество и все последующее уравнения этой системы.Если рассматривать x_r+1…x_n как свободные переменные, придавая им различные значения, то данная система превращается в квадратную систему r-линейных уравнений для r-неизвестных. Причем определителем основной матрицы этой системы явл базисный минор расширенной матрицы. Данная система имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера. Пусть M_j – определитель, получаемый из базиного минора М заменой его j-столбца столбцом из чисел b₁,b₂,…b_r. Записывая решение системы получим с помощью формул Крамера и линейного свойства определителя: Данные формулы содержат любое решение системы. Замечание: Если ранг основонй и расширенной матрицы равен числу неизвестных n, то в этом случае соотношение переходит в формулы определяющее единственное решение системы. Теорема Кронекера Капелии: Необходимым условием совместности системы явл равенство ранга основной и расширенной матрицы ее системы. Условия определенности и неопределенности:Теорема: Если ранг основной матрицы совместной системы равен кол-ву неизвестных, то система явл определенной. Теорема: Если ранг основной матрицы совместной системы меньше кол-ва переменных, то система явл неопределенной.

Поиск по сайту: