Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому

Общее уравнение линии второго порядка имеет вид (18).

Задача упрощения такого уравнения состоит в том, чтобы в преобразованном уравнении, были устранены: 10 член, содержащий произведение текущих координат, и 2) члены, содержащие первые степени двух координат или, по крайней мере, одной из них.

Рассмотрим случай упрощения уравнения кривой второго порядка, когда оно не содержит произведения текущих координат, т.е. имеет вид: . Путём дополнения до полного квадрата и параллельного переноса такое уравнение сводится к одному из канонических уравнений.

Пример 5. Какую линию определяет уравнение ?

Решение. Преобразуем данное уравнение следующим образом:

,

Обозначим: , .

Тогда уравнение в новой системе с центром в точке примет вид: , или .

Таким образом, заданная кривая является эллипсом (рис. 10).

Пример 6. Какую линию определяет уравнение

Решение. Преобразуем данное уравнение следующим образом:

;

; .

Обозначим: , .

Тогда уравнение в системе с центром в точке примет вид .

Таким образом: данная кривая – парабола с вершиной в точке (рис. 11).

Замечание. Если уравнение линии второго порядка содержит произведение текущих координат, то путём поворота осей и надлежащим выбором угла поворота следует добиться того, чтобы преобразованном уравнении отсутствовало произведение текущих координат.

Пример 7. Привести к простейшему виду уравнение кривой

.

Решение. Применим формулы поворота (6).

;

.

Выберем угол так, чтобы .

Тогда .

Следовательно, уравнение кривой в системе примет вид: или - эллипс (рис. 12).

Вопросы для самопроверки

Как определяется кривая второго порядка?

Что называется окружностью и как записывается её каноническое уравнение?

Как определяется эллипс и каково его каноническое уравнение?

Определите гиперболу и запишите её каноническое уравнение.

Какая линия называется параболой и какой вид имеет её каноническое уравнение?

Как приводится уравнение кривой второго порядка к каноническому виду?

Поиск по сайту: