АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Характеристический многочлен и характеристическое уравнение

Читайте также:
  1. V2: Волны. Уравнение волны
  2. V2: Уравнение Шредингера
  3. Адиабатический процесс. Уравнение адиабаты (Пуассона). Коэффициент Пуассона.
  4. Алгебраїчна замкненість поля комплексних чисел. Канонічний розклад многочленна над полем комплексних чисел та його єдиність.
  5. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОВОГО БАЛАНСА
  6. Б1 2. Линейный оператор в конечномероном пространстве, его матрица. Характеристический многочлен линейного оператора. Собственные числа и собств векторы.
  7. В декартовых координатах каждая прямая определяется уравнением первой степени с двумя переменными и обратно: каждое уравнение первой степени
  8. В простом случае обычное дифференциальное уравнение имеет вид
  9. Влияние температуры на константу равновесия. Уравнение изобары
  10. Внутреннее трение (вязкость) жидкости. Уравнение Ньютона
  11. Волна вероятности. Уравнение Шредингера
  12. Волновая функция.Уравнение Шредингера

Рассмотрим квадратную матрицу

Как было показано(6.1.), все матрицы, подобные матрице А, т.е. все матрицы вида А*= Т-1АТ, где Т – любая невырожденная матрица (квадратная), обладают одним и тем же определителем |A|=|A*|.

Подобные матрицы обладают еще одной общей для всех них характеристикой.

Наряду с матрицей А рассмотрим матрицу

,

которая образована из А заменой диагональных элементов aij элементами , где – произвольное число. Определитель этой матрицы

представляет собой многочлен степени n относительно (коэффициент при равен (-1)n). Многочлен называется характеристическим многочленом матрицы А.

Покажем, что все подобные матрицы имеют один и тот же характеристический многочлен, т.е. что , где А*=Т-1АТ.

Для этого воспользуемся тождеством Е*= Т-1ЕТ. Тогда, заменяя в матрице матрицы А* и Е соответственно на Т-1АТ и Т-1ЕТ, получаем:

.

Таким образом, все подобные матрицы имеют один и тот же характеристический многочлен .

Алгебраическое уравнение n -й степени называется характеристическим уравнением матрицы А, а его корни – характеристическими числами.

Характеристическое уравнение имеет вид

где – след k -го порядка матрицы А.

Следом k -го порядка называется сумма возможных главных миноров k -ого порядка:

Характеристическое уравнение имеет n не обязательно различных корней . Каждому характеристическому корню соответствует собственный вектор с точностью до постоянного множителя.

Сумма характеристических корней равна следу матрицы А:

,

а произведение характеристических корней равно определителю матрицы А:

Число ненулевых корней совпадает с рангом матрицы линейного оператора.

Одним из методов для нахождения коэффициентов характеристического уравнения является методом Фаддеева. Пусть линейный оператор задан матрицей А. Тогда коэффициенты вычисляются по следующей схеме:

Пример. Найти собственные значения линейного оператора , заданного матрицей

.

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид

где

В итоге получаем следующее характеристическое уравнение:

или откуда – собственные значения линейного оператора .

Теорема Гамильтона-Кэли. Каждая квадратная матрица является корнем своего характеристического многочлена.

Доказательство. Рассмотрим многочлен

. (6.2.1)

Пусть матрица В является присоединенной к матрице . Тогда имеем

. (6.2.2)

Элементами матрицы В являются многочлены от степени не выше (n-1). Поэтому матрицу В можно представить в следующем виде:

(6.2.3)

Подставляя выражения матрицы В из (6.2.3) и многочлена из (6.2.1) в равенство (6.2.2), получим

или

(6.2.4)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях равенства (6.2.4), получим

Умножим равенства (6.2.5) соответственно на и сложим полученные результаты:

или

,

откуда следует, что . Теорема доказана.

Пример. Линейный оператор задан матрицей

.

Найти и показать, что .

Решение. Составим матрицу

Многочлен имеет вид

.

Тогда

.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.)