АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Фундаментальна система розв’язків системи лінійних однорідних рівнянь. Теорема про існування фундаментальної системи розв’язків

Читайте также:
  1. A) прогрессивная система налогообложения.
  2. C) Систематическими
  3. ERP и CRM система OpenERP
  4. I Понятие об информационных системах
  5. I СИСТЕМА, ИСТОЧНИКИ, ИСТОРИЧЕСКАЯ ТРАДИЦИЯ РИМСКОГО ПРАВА
  6. I. Основні риси політичної системи України
  7. I. Суспільство як соціальна система.
  8. I.2. Система римского права
  9. II. Органы и системы эмбриона: нервная система и сердце
  10. III. Органы и системы эмбриона: пищеварительная система
  11. NDS і файлова система
  12. S-M-N-теорема, приклади її використання

Теорема про фундаментальну систему розв’язків: якщо ранг основної матриці однорідної системи рівнянь (1) дорівнює r ,і r – менше кількості невідомих n, то існує фундаментальна система розв’язків і їх кількість дорівнює n-r.

Доведення: Згідно теореми Гауса при виконанні теореми, однорідна система рівнянь (1) має безліч розв’язків і сукупність всіх розв’язків системи рівнянь (1) записується так:

(2)

Виберемо з даної сукупності розв’язків n-r розв. По правилу, одна з незалежних змінних дорівнює 1, а всі інші незалежні змінні дорівнюють 0.

1)

2)

Доведемо, що ці вектори є лінійно-незалежні і кожний інший розв’язок є їх лінійною комбінацією. Складемо матрицю з компонентів векторів і еквівалентними перетвореннями зведемо її до діагонального виду. Одним з еквівалентних перетворень є заміна місцями стовпців, поміняємо місцями 1-ий стовпець з r+1; 2-ий – з r+2; n-r - з r. Отримаємо матрицю по головній діагоналі будуть стояти 1, а нижче діагоналі 0. Таким чином ці вектори є лінійно незалежними. Тепер покажемо, що кожен розв’язок можна представити у вигляді лінійної комбінації векторів . У векторі компоненти зв’язані між собою співвідношенням (2) :

.

Помножимо вектор на ; на ; на і додамо, при цьому лінійна комбінація векторів буде такою ж лінійною комбінацією компонентів векторів

Що й треба було довести.

 

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 |


При использовании материала, поставите ссылку на Студалл.Орг (0.005 сек.)