АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Пример решения задачи 3. Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными

Читайте также:
  1. I Психологические принципы, задачи и функции социальной работы
  2. I. ГИМНАСТИКА, ЕЕ ЗАДАЧИ И МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ
  3. I. ЗАДАЧИ ПЕДАГОГИЧЕСКОЙ ПРАКТИКИ
  4. I. Ситуационные задачи и тестовые задания.
  5. I. Цель и задачи дисциплины
  6. II Съезд Советов, его основные решения. Первые шаги новой государственной власти в России (октябрь 1917 - первая половина 1918 гг.)
  7. II. Основные задачи и функции
  8. II. Основные задачи и функции
  9. II. ЦЕЛИ, ЗАДАЧИ И ПРИНЦИПЫ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ВОИ
  10. II. Цель и задачи государственной политики в области развития инновационной системы
  11. III. Графические задания и задачи
  12. III. Цели и задачи социально-экономического развития Республики Карелия на среднесрочную перспективу (2012-2017 годы)

Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными

 

Требуется: 1) найти её решения с помощью формул Крамера;

2) записать систему в матричном виде и решить её средствами матричного исчисления;

3) решить систему методом Гаусса.

 

Решение:1) Рассмотрим матрицу системы линейных уравнений .

Главный определитель матрицы d = = 2 ×3 × 1 + 1 × (–2) × 1 + 1× 3 ×

∙ (–1) – (–1) × 3 × 1 – 1× (–2) × 2 –1× 3 ×1 = 5 (вычислили по правилу треугольника).

Так как d = 5 ¹ 0, то система имеет единственное решение, которое и можно найти по формулам Крамера. Для системы трех уравнений с тремя неизвестными формулы Крамера имеют вид: где d 1, d 2 и d 3 – получаются из определителя d заменой соответственно первого, второго и третьего столбца на столбец из свободных членов. Составим и вычислим эти определители, используя, например, правило треугольника.

,

 

,

 

.

 

По формулам Крамера получаем:

 

, , .

 

2) Данную систему можно представить в матричном виде: А×Х=В,

где – матрица системы уравнений, – матрица-столбец из неизвестных, – матрица-столбец из свободных членов.

Умножим слева обе части уравнения на А –1, где А –1 – обратная для матрицы А матрица. Тогда . Значит, решение матричного уравнения А×Х=В будем искать в виде Х=А –1 × В, где А –1 – матрица, обратная матрице А.

Так как определитель матрицы А не равен нулю (d= 5), то обратная матрица существует и равна: ,

 

где – алгебраическое дополнение для элементов исходной матрицы.

Найдем алгебраические дополнения для элементов матрицы А:

 

; ; ;

 

;

; ; ; ; .

 

Получаем . Тогда

 

.

3) Решим систему методом Гаусса, для это расширенную матрицу системы с помощью элементарных преобразований приведем ступенчатому виду: . Для удобства поменяем местами первую и последнюю строки.

 
 


~ - поменяем местами вторую и третью строки, получим: .

Этой матрице соответствует система .

Из последнего уравнения находим . Подставляя данное значение во второе уравнение, находим . Подставляя найденные значения в первое уравнение, находим

Ответ: х = 3; y = 1; z = 2.


Задача 4. Найти общее решение системы.

1. а) b) 2. a) b)
3. a) b) 4. a) b)
5. a) b) 6. a) b)
7. a) b) 8. a) b)

 

9. a) b) 10. a) b)
11. a) b) 12. a) b)
13. a) b) 14. a) b)
15. a) b) 16. a) b)

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)