Раздел 5 Векторная алгебра

1 Что называется вектором? Что называется длиной вектора? Какой вектор называется нулевым вектором? Какие векторы называются коллинеарными? Какие векторы называются сонаправленными, противоположно направленными? Какие векторы называются равными?

2 Какой вектор называется суммой двух векторов? Какими свойствами обладает операция сложения двух векторов? Какие практические правила сложения двух векторов Вам известны?

3 Какой вектор называется произведением вектора на число? Какими свойствами обладает операция умножения вектора на число?

4 Сформулируйте и докажите критерий коллинеарности двух векторов на плоскости. Какие векторы на плоскости являются линейно независимыми? Сформулируйте и докажите. Какими свойствами обладают векторы плоскости, исходящие из одной точки?

5 Какие векторы называются компланарными? Сформулируйте и докажите критерий компланарности векторов в . Какими свойствами обладают векторы реального пространства , исходящие из одной точки?

6 Какая система координат в пространстве называется прямоугольной системой координат? Как определяются координаты точки? Какой вектор называется радиус-вектором? Как определяются его координаты? Как вводятся координаты вектора в общем случае? Как выполняются действия над векторами, заданными своими координатами? Выведите формулу, для определения координат вектора, если известны координаты начала и конца вектора.

7 Как определяется угол между векторами? Всегда ли его можно определить однозначно? Что называется скалярной проекцией вектора на ось? Сформулируйте и докажите свойства скалярной проекции на ось. Каков геометрический смысл координат вектора?

8 Что называется скалярным произведением векторов? Сформулируйте и докажите свойства скалярного произведения векторов. Выведите формулу для определения скалярного произведения векторов, заданных своими координатами. Какие геометрические приложения скалярного произведения векторов Вам известны? Сформулируйте и докажите признак перпендикулярности двух векторов.

9 Какая тройка векторов называется правой? Что называется векторным произведением двух векторов? Сформулируйте и докажите свойства векторного произведения векторов. Выведите формулу для определения векторного произведения векторов, заданных своими координатами. Какие геометрические приложения векторного произведения векторов Вам известны? Сформулируйте и докажите признак коллинеарности двух векторов.

10 Что называется смешанным произведением трех векторов? Сформулируйте и докажите свойства смешанного произведения векторов. Выведите формулу для определения смешанного произведения векторов, заданных своими координатами. Какие геометрические приложения смешанного произведения векторов Вам известны? Сформулируйте и докажите критерий компланарности трех векторов.

Вопросы для самоконтроля

1. Что называется определителем?

2. Сформулируйте правило вычисления определителей второго порядка.

3. Сформулируйте правило треугольника вычисления определителей третьего порядка.

4. Приведите пример нахождения минора элемента определителя.

5. Приведите пример нахождения алгебраического дополнения элемента определителя.

6. Сформулируйте теорему о вычислении определителей.

7. Как можно решить систему линейных уравнений с помощью определителей?

8. В каких случаях определитель будет равен нулю?

9. При каких преобразованиях величина определителя не изменится?

10. Дайте определения матрицы произвольной размерности.

11. Приведите примеры основных видов матриц.

12. Какая матрица называется единичной?

13. Какие линейные операции можно совершать над матрицами?

14. Сформулируйте правило сложения матриц, умножения матрицы на число.

15. Когда возможно умножение матрицы на матрицу?

16. Сформулируйте правило умножения матрицы на матрицу.

17. В чем заключается операция транспонирования матриц?

18. Для каких матриц существуем обратная матрица?

19. Как проверить, является ли матрица обратной по отношению к данной?

20. Приведите план построения обратной матрицы.

21. Среди матриц выбрать те, для которых существует обратная матрица:

22. Является ли матрица транспонированной к произведению матриц .

23. Как можно с помощью обратной матрицы решать системы линейных уравнений?

24. В чем заключается метод Гаусса решения систем линейных уравнений?

25. В каких случаях система линейных уравнений будет иметь единственное решение?

26. В каких случаях система линейных уравнений будет иметь бесчисленное множество решений?

27. В каких случаях система линейных уравнений не будет иметь ни одного решения?

28. Однородная система линейных уравнений содержит 3 уравнения с 4 неизвестными. Что можно сказать о количестве решений такой системы?

29. Неоднородная система линейных уравнений содержит 3 уравнений с 3 неизвестными. Что можно сказать о количестве решений такой системы?

30. Дайте определение вектора. Какой вектор называется нулевым?

31. Что называется длиной вектора? Чему равна длина нулевого вектора, единичного?

32. Что называется суммой векторов? Сформулируйте правило параллелограмма сложения векторов.

33. Что называется разностью векторов.

34. Сформулируйте свойства операций сложения векторов.

35. Что называется произведение вектора на действительное число?

36. Какие векторы называются коллинеарными?

37. Какие векторы называются компланарными?

38. Что называется линейной комбинацией векторов ?

39. Дайте определение линейно зависимой и линейно независимой системы векторов.

40. Сформулируйте свойства линейно зависимой и линейно независимой системы векторов.

41. Что называется базисом векторного пространства? Что такое размерность векторного пространства?

42. Как вводится понятие координат вектора в данном базисе? Сформулируйте основные свойства координат векторов.

43. Какой базис называется ортонормированным.

44. Что называется скалярным произведение векторов и . Что означается равенство нулю скалярного произведения?

45. Перечислите основные свойства скалярного произведения.

46. Сформулируйте определение векторного произведения двух векторов.

47. Запишите основные свойства векторного произведения векторов. В чем состоят геометрический смысл векторного произведения?

48. Как можно вычислить векторное произведение векторов, если известны их координаты?

49. Сформулируйте определение смешанного произведения трех векторов. В чем состоят геометрический смысл векторного произведения?

50. Запишите основные свойства смешанного произведения векторов. Как можно вычислить векторное произведение векторов, если известны их координаты?

51. Как можно определить коллинеарность и компланарность векторов, используя векторное и смешанное произведения?

52. Как найти координаты вектора в новом базисе?

53. Являются ли векторы линейно независимыми ?

54. Запишите комплексное число в различных формах. Записать комплексное число в показательной форме.

Поиск по сайту: