Умножение матриц. Определение 5. Произведением матрицы А = (аip) размера (m x n) на матрицу В = (bpj) размера (n x p) называется матрица С = (сij) размера (m x p)

Определение 5. Произведением матрицы А = (а_ip) размера (m x n) на матрицу В = (b_pj) размера (n x p) называется матрица С = (с_ij) размера (m x p), элементы которой равны сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В, т. е.

с_ij = а_i1b_1j + а_i2b_2j +… + а_iрb_рj (1)

Причем матрицу А можно умножать на матрицу В тогда и только тогда, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.

Пример. Найти произведение матриц

А = и В =

Решение. Размер матрицы А - (2 х 3), размер матрицы В - (3 х 2). Число столбцов А равно числу строк В: умножение возможно. При этом размер матрицы С = А × В - (2 x 2).

Найдем элементы с_ij матрицы С по формуле (1).

с₁₁ = а₁₁b₁₁ + а₁₂b₂₁ +а₁₃b₃₁ = 1 × 1 + 2 × 0 + 0 × 2 = 1;

с₁₂ = а₁₁b₁₂ + а₁₂b₂₂ +а₁₃b₃₂ = 1 × 2 + 2 × 1 + 0 × 2 = 4;

с₂₁ = а₂₁b₁₁ + а₂₂b₂₁ +а₂₃b₃₁ = 3 × 1 + 1 × 0 + 1 × 2 = 5;

с₂₂ = а₂₁b₁₂ + а₂₂b₂₂ +а₂₃b₃₂ = 3 × 2 + 1 × 1 + 1 × 2 = 9.

Таким образом,

С = .

Операция умножения матриц обладает следующими свойствами:

1. (АВ)С = А(ВС);

2. (А + В)С = АС + ВС;

3. В общем случае АВ ¹ ВА.

Замечание: Свойством коммутативности обладают произведения

А×Е = Е×А = А,

А×О = О×А = О,

где Е и О – единичная и нулевая матрицы соответственно.

Поиск по сайту: