АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Определение 1.4

Читайте также:
  1. Access. Базы данных. Определение ключей и составление запросов.
  2. I. Определение
  3. I. Определение
  4. I. Определение основной и дополнительной зарплаты работников ведется с учетом рабочих, предусмотренных технологической картой.
  5. I. Определение проблемы и целей исследования
  6. I. Определение ранга матрицы
  7. I. Составление дифференциальных уравнений и определение передаточных функций
  8. III. Определение оптимального уровня денежных средств.
  9. Автоматическое порождение письменного текста: определение, этапы, общая структура системы порождения
  10. Аксиомы науки о безопасности жизнедеятельности. Определение и сущность.
  11. Анализ функциональной связи между затратами, объемом продаж и прибылью. Определение безубыточного объема продаж и зоны безопасности предприятия
  12. Биотехнология в охране окружающей среды: определение и основные направления.

Определителем п – го порядка называется число

= а 11. А 11 + а 12. А 12 +... + а 1 п . А 1 п , (*)

где А 1 j (j = 1, 2, …, n) – алгебраические дополнения элементов первой строки определителя.

Правую часть равенства (*) называют разложением определителя по первой строке.

Таким образом, для матрицы А порядка п определитель равен

|A| = .

Например,

Свойства определителей:

1) |Aт| = |A|.

2) Определитель изменит знак, если поменять местами любые две строки или любые два его столбца.

3) Определитель равен нулю, если он имеет две пропорциональные строки, или два пропорциональных столбца. В частности, если две строки или два столбца определителя равны, то этот определитель равен 0.

4) Общий множитель элементов строки (или столбца) можно выносить за знак определителя. В частности, если все элементы строки (или столбца) равны нулю, то и определитель равен нулю.

5) Если каждый элемент строки (столбца) определителя равен сумме двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, в одном из которых указанная строка (столбец) состоит из первых слагаемых, а в другом – из вторых. Остальные строки этих определителей те же, что и в исходном определителе:

6) Определитель не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца), умноженные на произвольный множитель.

7) Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения:
|A| = , (i = 1, 2, …, п).
Сумма произведений элементов строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения к элементам другой строки (другого столбца) равна нулю:
= 0, k ¹ j.

8) Определитель треугольной матрицы (у которой под главной диагональю или над ней стоят все 0) равен произведению диагональных элементов:

= а 11. а 22. а 33.…. апп.
Такой определитель называют определителем треугольного вида.

Учитывая свойство 7, определитель можно вычислять, не только разлагая его по первой строке, но и по любой другой строке или столбцу.

Например, в рассмотренном выше определителе вычисление удобнее проводить, разлагая по четвертому столбцу или, по третьей или четвертой строке:

.

Используя свойство 6, определитель можно преобразовать к треугольному виду, а затем вычислить, используя свойство 8.

Отметим еще несколько свойств определителей:

I. |AB| = |A|.|B|

II. |E| = 1

III. |lA| = l n |A|, A n ´ n

IV. |A + B| ¹ |A| + |B|.

Докажите эти свойства!

Матрица, определитель которой отличен от нуля, называется невырожденной. Если |A| = 0, то матрица А – вырожденная.

Дадим еще одно определение, необходимое нам в дальнейшем


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)