Обратная матрица. В пункте 2 мы дали определение обратной матрицы А–1 для заданной квадратной матрицы А: обратной называют матрицу А–1

В пункте 2 мы дали определение обратной матрицы А^–1 для заданной квадратной матрицы А: обратной называют матрицу А^–1, удовлетворяющую условию А^–1А = АА^–1 = Е, (1)

Для всякой ли квадратной матрицы существует обратная и единственна ли она? На эти вопросы отвечает следующая теорема:

Теорема 1.1.

Квадратная матрица А = (а_ij) _{п ´ п} имеет обратную тогда и только тогда, когда определитель этой матрицы отличен от нуля. При этом обратная матрица А^–1 единственна и имеет вид

А^–1 = , (2)

где |A| – определитель матрицы А, A_ij –алгебраические дополнения элементов а_ij матрицы А (i, j = 1,2,…, n).

Доказательство: 1) Покажем сначала, что матрица вида (2) удовлетворяет равенству (1). Имеем

АА^–1 = =

=

(здесь использовано свойство 7 определителей)

= = Е.

Аналогично можно показать и равенство А^–1А = Е. Следовательно, матрица вида (2) есть обратная к А по определению и, очевидно, она существует, если |A| ¹ 0.

2) Покажем, что обратная матрица вида (2) – единственная, которая условиям (1) удовлетворяет.

Предположим, что существует еще одна матрица – В, для которой справедливо равенство (1): АВ = ВА = Е. Умножим обе части равенства АВ = Е на А^–1 слева, получим

А^–1АВ = А^–1Е Þ (А^–1А)В = А^–1 Þ ЕВ = А^–1 Þ В = А^–1,

т.е. рассмотренная матрица В совпадает с обратной матрицей А^–1 вида (2). Следовательно, обратная для заданной квадратной матрицы – единственная. ЧТД.

Из теоремы 3.1 следует алгоритм отыскания обратной матрицы:

1. Вычислить определитель |A| заданной матрицы А. |A| ¹ 0, переходим к пункту 2, если же |A| = 0, то обратной матрицы для заданной не существует.

2. Вычислить алгебраические дополнения А_ij всех элементов матрицы А и составить из них матрицу

А_п = – эта матрица называется присоединенной к матрице А.

3. Транспонировать присоединенную матрицу А_п и умножить на число . В результате получится матрица А^–1.

Отметим свойства обратных матриц:

1) (АВ)^–1 = В^–1А^–1;

2) (А^–1)^–1= А;

3) (А^т)^–1= (А^–1)^т;

4) |A^–1| = |A|^–1= .

5) Матрица, обратная для невырожденной симметрической матрицы есть симметрическая матрица; обратная для кососимметрической матрицы есть кососимметрическая матрица.

Матрицу А, для которой А^–1 = А^т, называют ортогональной. Обратная для ортогональной матрицы является ортогональной матрицей.

С помощью обратной матрицы можно решать матричные уравнения вида

АХ = В и ХА = В,

где А – невырожденная квадратная матрица.

Умножая первое уравнение на А^–1 слева, а второе – на А^–1 справа, получают решение этих уравнений в виде

Х = А^–1В и Х = ВА^–1

соответственно.

Поиск по сайту: