АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Определение 2.2

Читайте также:
  1. Access. Базы данных. Определение ключей и составление запросов.
  2. I. Определение
  3. I. Определение
  4. I. Определение основной и дополнительной зарплаты работников ведется с учетом рабочих, предусмотренных технологической картой.
  5. I. Определение проблемы и целей исследования
  6. I. Определение ранга матрицы
  7. I. Составление дифференциальных уравнений и определение передаточных функций
  8. III. Определение оптимального уровня денежных средств.
  9. Автоматическое порождение письменного текста: определение, этапы, общая структура системы порождения
  10. Аксиомы науки о безопасности жизнедеятельности. Определение и сущность.
  11. Анализ функциональной связи между затратами, объемом продаж и прибылью. Определение безубыточного объема продаж и зоны безопасности предприятия
  12. Биотехнология в охране окружающей среды: определение и основные направления.

Две СЛУ называются равносильными (эквивалентными), если каждое решение одной из них является решением другой и наоборот.

Один из методов решения произвольных систем, называемый методом Гаусса, состоит в том, что с помощью преобразований прямоугольная СЛУ приводится к равносильной ей системе треугольного вида

(4)

или усеченного треугольного вида (трапециевидной формы)

(5)

которую легко исследовать и решить. В последней системе k £ n, k £ m, а неизвестные – это неизвестные х , х 2,..., хп, может быть, переставленные местами.

Эту систему специального вида получают так: выбирают какое-либо неизвестное , оставляют его в одном уравнении, поставив это уравнение на первое место в системе, и исключают из остальных, то есть обращают коэффициенты при этом неизвестном в ноль. Затем выбирают неизвестное , оставляют его в двух первых уравнениях и исключают из остальных, и так далее.

Если в результате преобразований получились уравнения вида

0 хк + 0 хк +1 +...+ 0 хn = d, d ¹ 0,

то система несовместна.

Если таких уравнений в преобразованной системе нет, то эта система (а, следовательно, и исходная) совместна.

В системе вида (4) решение находят «обратным ходом»: из последнего уравнения находят , подставляя это значение в предпоследнее уравнение, находят , и так далее, вверх по системе, доходят до неизвестного х¢ 1.

Если в результате преобразований получилась система вида (5), то поступают следующим образом.

Поскольку число уравнений системы (5) меньше числа неизвестных (k < n), то из этих уравнений можно найти только k неизвестных (коэффициенты при которых образуют отличный от нуля определитель, чаще всего это те, которые занимают первые k мест в уравнениях). Эти неизвестные называют базисными, их оставляют в левой части уравнений системы. Остальные неизвестные называют свободными, их переносят в правую часть уравнений и считают известными, принимающими произвольные значения:

В результате получится система вида (4), из которой «обратным ходом» находят неизвестные как функции свободных неизвестных

Так как свободным неизвестным можно придавать произвольные значения, то система имеет бесчисленное множество решений, а значит, и исходная система имеет бесчисленное множество решений.

Совокупность

называется общим решением системы (5), и, следовательно, системы (1). Придавая в общем решении свободным неизвестным конкретные числовые значения, будем получать частное решение системы.

Реализация метода Гаусса не зависит ни от числа уравнений, ни от числа неизвестных в системе.

Рассмотрим преобразования, которые можно производить над уравнениями СЛУ и приводящие ее к равносильной системе:

· перестановка местами уравнений в системе;

· умножение любого уравнения системы на число, отличное от нуля;

· прибавление к обеим частям одного уравнения системы соответствующих частей другого;

· отбрасывание уравнения, в котором все коэффициенты при неизвестных и свободный член равны нулю.

Если осмыслить механизм этих преобразований, то становится ясно, что все они выполняются, по существу, лишь над коэффициентами системы, т.е. над элементами расширенной матрицы ` А. Поэтому вместо преобразований уравнений системы рассматривают соответствующие преобразования матриц этой системы. Эти преобразования называются элементарными преобразованиями матрицы. К ним относятся:

§ перестановка строк;

§ умножение любой строки на число, отличное от нуля;

§ прибавление какой-либо строки матрицы, умноженной на число, к другой строке;

§ отбрасывание нулевой строки.

Рассмотрим пример. Решим систему

Для этого будем производить элементарные преобразования над строками расширенной матрицы этой системы:

 

По последней матрице составим систему уравнений, равносильную исходной:

Поскольку в результате преобразований не получилось ни одного уравнения вида

0 х к + 0 х к+1 +...+ 0 х n = b, b ¹ 0,

то полученная система имеет решение. Так как неизвестных в этой системе больше чем уравнений, то разобьем эти неизвестные на базисные и свободные. За базисные возьмем два неизвестных системы, коэффициенты при которых образуют отличный от нуля определитель, это, например, х 1 и х 2 : . Остальные неизвестные х 3 и х 4 считаем свободными и перенесем их в правые части уравнений системы. Получим систему

Чтобы записать все множество решений системы (общее решение), положим х 3 = с 1, х 4 = с 2, где с 1, с 2 – произвольные действительные числа. Получим

Из второго уравнения этой системы находим

.

Подставляя найденное значение х 2 в первое уравнение, найдем неизвестное х 1:

.

Тогда можно записать

, с 1, с 2 Î R.

Эта матрица-строка и есть общеерешение заданной системы.

Придавая с 1 и с 2 любые числовые значения, можно получать частные решения:

при с 1 = 0, с 2 = 1 получим – частное решение.

Другой пример. Рассмотрим систему

Возьмем расширенную матрицу этой системы и проведем над ней элементарные преобразования:

Þ

Запишем по полученной матрице систему линейных уравнений

.

Очевидно, никакая упорядоченная совокупность (a1, a2, a3, a4) действительных чисел не удовлетворяет последнему уравнению полученной системы (0 ¹ 3), значит, исходная система решений не имеет.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.006 сек.)