|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Определение 2.2Две СЛУ называются равносильными (эквивалентными), если каждое решение одной из них является решением другой и наоборот. Один из методов решения произвольных систем, называемый методом Гаусса, состоит в том, что с помощью преобразований прямоугольная СЛУ приводится к равносильной ей системе треугольного вида (4) или усеченного треугольного вида (трапециевидной формы) (5) которую легко исследовать и решить. В последней системе k £ n, k £ m, а неизвестные – это неизвестные х 1, х 2,..., хп, может быть, переставленные местами. Эту систему специального вида получают так: выбирают какое-либо неизвестное , оставляют его в одном уравнении, поставив это уравнение на первое место в системе, и исключают из остальных, то есть обращают коэффициенты при этом неизвестном в ноль. Затем выбирают неизвестное , оставляют его в двух первых уравнениях и исключают из остальных, и так далее. Если в результате преобразований получились уравнения вида 0 хк + 0 хк +1 +...+ 0 хn = d, d ¹ 0, то система несовместна. Если таких уравнений в преобразованной системе нет, то эта система (а, следовательно, и исходная) совместна. В системе вида (4) решение находят «обратным ходом»: из последнего уравнения находят , подставляя это значение в предпоследнее уравнение, находят , и так далее, вверх по системе, доходят до неизвестного х¢ 1. Если в результате преобразований получилась система вида (5), то поступают следующим образом. Поскольку число уравнений системы (5) меньше числа неизвестных (k < n), то из этих уравнений можно найти только k неизвестных (коэффициенты при которых образуют отличный от нуля определитель, чаще всего это те, которые занимают первые k мест в уравнениях). Эти неизвестные называют базисными, их оставляют в левой части уравнений системы. Остальные неизвестные называют свободными, их переносят в правую часть уравнений и считают известными, принимающими произвольные значения: В результате получится система вида (4), из которой «обратным ходом» находят неизвестные как функции свободных неизвестных Так как свободным неизвестным можно придавать произвольные значения, то система имеет бесчисленное множество решений, а значит, и исходная система имеет бесчисленное множество решений. Совокупность называется общим решением системы (5), и, следовательно, системы (1). Придавая в общем решении свободным неизвестным конкретные числовые значения, будем получать частное решение системы. Реализация метода Гаусса не зависит ни от числа уравнений, ни от числа неизвестных в системе. Рассмотрим преобразования, которые можно производить над уравнениями СЛУ и приводящие ее к равносильной системе: · перестановка местами уравнений в системе; · умножение любого уравнения системы на число, отличное от нуля; · прибавление к обеим частям одного уравнения системы соответствующих частей другого; · отбрасывание уравнения, в котором все коэффициенты при неизвестных и свободный член равны нулю. Если осмыслить механизм этих преобразований, то становится ясно, что все они выполняются, по существу, лишь над коэффициентами системы, т.е. над элементами расширенной матрицы ` А. Поэтому вместо преобразований уравнений системы рассматривают соответствующие преобразования матриц этой системы. Эти преобразования называются элементарными преобразованиями матрицы. К ним относятся: § перестановка строк; § умножение любой строки на число, отличное от нуля; § прибавление какой-либо строки матрицы, умноженной на число, к другой строке; § отбрасывание нулевой строки. Рассмотрим пример. Решим систему Для этого будем производить элементарные преобразования над строками расширенной матрицы этой системы:
По последней матрице составим систему уравнений, равносильную исходной: Поскольку в результате преобразований не получилось ни одного уравнения вида 0 х к + 0 х к+1 +...+ 0 х n = b, b ¹ 0, то полученная система имеет решение. Так как неизвестных в этой системе больше чем уравнений, то разобьем эти неизвестные на базисные и свободные. За базисные возьмем два неизвестных системы, коэффициенты при которых образуют отличный от нуля определитель, это, например, х 1 и х 2 : . Остальные неизвестные х 3 и х 4 считаем свободными и перенесем их в правые части уравнений системы. Получим систему Чтобы записать все множество решений системы (общее решение), положим х 3 = с 1, х 4 = с 2, где с 1, с 2 – произвольные действительные числа. Получим Из второго уравнения этой системы находим . Подставляя найденное значение х 2 в первое уравнение, найдем неизвестное х 1: . Тогда можно записать , с 1, с 2 Î R. Эта матрица-строка и есть общеерешение заданной системы. Придавая с 1 и с 2 любые числовые значения, можно получать частные решения: при с 1 = 0, с 2 = 1 получим – частное решение. Другой пример. Рассмотрим систему Возьмем расширенную матрицу этой системы и проведем над ней элементарные преобразования:
Þ Запишем по полученной матрице систему линейных уравнений . Очевидно, никакая упорядоченная совокупность (a1, a2, a3, a4) действительных чисел не удовлетворяет последнему уравнению полученной системы (0 ¹ 3), значит, исходная система решений не имеет. Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.006 сек.) |