АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Умножение матриц. Лекция 1. Элементы линейной алгебры

Читайте также:
  1. II. Умножение матрицы на число
  2. III. Умножение вектора на число
  3. MathCad: понятие массива, создание векторов и матриц.
  4. V2: ДЕ 5 - Линейные отображения. Умножение матриц
  5. Алгебра матриц.
  6. Алгебра матриц.
  7. Виды матриц.
  8. Вычисление собственных значений и собственных векторов матриц.
  9. Линейные операции над векторами (сложение, вычитание, умножение на скаляр; свойства линейных операций).
  10. Многочлен имеет степень на один меньше, чем разрядность вектора. Над многочленами вводятся три вида операций: сложение (аналогично «сложению по модулю 2»), умножение, деление.
  11. Определители квадратных матриц.
  12. Определитель произведения нескольких матриц п-го порядка равен произведению определителей этих матриц.

Лекция 1. Элементы линейной алгебры.

Матрицы и определители. Основные понятия о матрицах.

 

Понятие матрицы и раздел математики, изучающий матрицы – матричная алгебра, имеет особо важное значение для экономистов, т.к. на использовании этого раздела построены многие экономические дисциплины: в частности «ЭММ и М», «Финансовая математика», «Эконометрика», «Оценка и анализ рисков».

Цель: освоение следующих вопросов:

1.Матрица это прямоугольная таблица чисел, имеющая размерность (число строк и столбцов).

2.Квадратную матрицу можно связать с числом – ее определителем.

Задача: а) научиться вычислять определители 2-го и 3-го порядков;

б) уметь находить обратную матрицу и проверять правильность решения.

Определение. Матрицей размерности mxn называется прямоугольная таблица из элементов любой природы, имеющая mстрок и n столбцов.  


 

 

Элементами матрицы могут быть числа, буквы, функции, рисунки, любые знаки.

а11 а12 …. а1n где i - номер строки, 1≤ i≤ m

А = а21 а22 …. а2n = (aij)mxn, j – номер столбца, 1≤ j≤ n

………………………

аm1 am2 …. amn m xn

 

Если m=n, матрица называется квадратной.

Если размерность матрицы 1x n A=(a1 a2 … an)1xn, матрица называется строчной или вектор-строка.

Если размерность mx1, матрица называется столбцевой (вектор - столбец).

b1

B = b2

….

bn mx1

Если все aij= 0, матрица называется нулевой: O = (о)mxn

aij= 0, i≠j

Если m=n и матрица называется диагональной

aij≠0, i=j

Например,

2 0 0

А= 0 1 0

0 0 6

Если в диагональной матрице элементами диагонали являются единицы, матрица называется единичной и обозначается

1 0 …. 0

Е =0 1 …. 0

………………….

0 0 …. 1

Матрицы А=(aij)mxn и B=(bij)mxn называются равными, если они имеют одинаковую размерность и совпадают поэлементно.

A=B aij=bij

Операции над матрицами.

Над матрицами можно проводить все линейные операции, известные из курса алгебры. Причём, эти операции подчиняются всем законам линейной алгебры.

 

Сложение матриц.

Пусть А=(aij)mxn и B=(bij)mxn матрицы одинаковой размерности. Суммой матриц А и В называется матрица С той же размерности.

C = A+B=(aij +bij)mxn

Умножение матрицы на число.

Произведением матрицы А=(aij) на число k называется матрица

B=kА=(kaij)mxn

Эти операции подчиняются следующим свойствам:

1. А+В=В+А – переместительность.

2. А+В+С=(А+В)+С=А+(В+С) – сочетательность

3. А+0=А

4. kA=Ak

5. k(A+B)=kA+kB – распределительность относительно числового множителя.

6. (k1+k2)A=k1A+k2A – распределительность относительно матричного множителя.

7. k1Ak2=(k1k2)a=k1(Ak2)

Умножение матриц.

Это новая операция, не относящаяся к линейным операциям.

 

Пусть даны две матрицы А = (аij)mxр и В = (bij)pxn. Произведением этих матриц называется матрица С = (cij)mxn, каждый элемент которой cij равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы А на соответствующие элементы j-того столбца матрицы В.  

 

… … …. … … bij

А = а21 а22 …. а2n - i - строка B = … b2j

………………………..……………

bpjpxn

j - столбец

j столбец

 

Cmxn = Cij i строка

 

cij = ai1 b1j + ai2 b2j + …+ aip bpj

 


1 | 2 | 3 | 4 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.)