Действия над матрицами. Равенство матриц. Две матрицы одного порядка А = ||аij|| и В = ||bij|| равны между собой, если равны их соответствующие элементы аij = bij

Равенство матриц. Две матрицы одного порядка А = || а_ij || и
В = || b_ij || равны между собой, если равны их соответствующие элементы
а_ij = b_ij.

Сложение матриц. Суммой матриц одинаковой размерности
А = || а_ij || и В = || b_ij || называется матрица C = || а_ij + b_ij ||.

Пример. + = .

Умножение матрицы на число. Произведением матрицы А на число называется матрица В = А = || а_ij ||.

Пример. = .

Умножение матриц одной размерности А и В производится по принципу “строка на столбец” С = АВ = . Причем, AB BA.

Пример. = .

Вектор столбец А и Вектор строка В имеют вид:

A = ; B = .

Умножение матрицы А на вектор столбец В порождает новый вектор столбец С и идет по правилу “строка на столбец” || с_i || = .

Пример. = .

Ноль матрица включает только нулевые элементы О = ||0||.

Единичная матрица Е включает 1 по главной диагонали и 0 в остальных местах. AE = EA = A.

Пример. = = .

Обратная матрица. Матрица А ^{– 1} называется обратной для матрицы А, если А ^–1 А = Е.

Теорема. Для того, чтобы квадратная матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной, т.е. det A 0.

Элемент обратной матрицы (А ^–1) _ij равен алгебраическому дополнению A_ji матрицы А, деленному на det A: (А^{– 1}) _ij = A_ji / det A (индексы поменяли места) или

A ^–1 = (det A)^–1|| A_ij || ^T. (14)

Поиск по сайту: