Окружность. Определение. Каноническое уравнение

Окружность – множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки на плоскости. Выведем уравнение окружности.

Пусть С(а;в) – центр окружности, а R – её радиус. Возьмем произвольную точку М(х;у) окружности. Расстояние от центра окружности до точки М находится по известной формуле |CM|=

1) Если в этом уравнении раскрыть скобки и выполнить некоторые преобразования, то получим:

Дальше нужно уточнить.

2) Если центр окружности совпадает с началом координат, то общее уравнение примет вид

Уравнение окружности, проходящей через 3 точки (, (; , (, )

Окружность можно также описать с помощью параметрического уравнения

, 0

Кривая второго порядка – геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

51. Эллипсом называется множество точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F ₁ и F ₂ этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная. При совпадении точек F ₁ и F ₂ эллипс превращается в окружность. Выведем уравнение эллипса, выбрав декартову систему координат так, чтобы ось Ох совпала с прямой F ₁ F ₂, начало координат – с серединой отрезка F ₁ F ₂. Пусть длина этого отрезка равна 2 с, тогда в выбранной системе координат F ₁(- c, 0), F ₂(c, 0). Пусть точка М(х, у) лежит на эллипсе, и сумма расстояний от нее до F ₁ и F ₂ равна 2 а. Каноническое уравнение эллипса.

Теорема. В канонической для эллипса системе координат уравнение эллипса имеет вид:

X^2/a^2+y^2/b^2=1

Свойства эллипса:

1) Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии (главные оси эллипса) и центр симметрии (центр эллипса). Если эллипс задан каноническим уравнением, то его главными осями являются оси координат, а центром – начало координат. Поскольку длины отрезков, образованных пересечением эллипса с главными осями, равны 2 а и 2 b (2 a >2 b), то главная ось, проходящая через фокусы, называется большой осью эллипса, а вторая главная ось – малой осью.

2) Весь эллипс содержится внутри прямоугольника

3) Эксцентриситет эллипса e < 1.

Действительно,

4) Директрисы эллипса расположены вне эллипса (так как расстояние от центра эллипса до директрисы равно а/е, а е <1, следовательно, а/е>a, а весь эллипс лежит в прямоугольнике )

5) Отношение расстояния r_i от точки эллипса до фокуса F_i к расстоянию d_i от этой точки до отвечающей фокусу директрисы равно эксцентриситету эллипса.

Поиск по сайту: