|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Тема 2.2 Простейшие движения твердого тела2.2.1. Поступательное движение Движение твердого тела, при котором любой выбранный в теле отрезок прямой перемещается, оставаясь параллельным своему первоначальному положению, называется поступательным. Рассмотрим две точки А и В, соединенные отрезком АВ. Очевидно, что при перемещении отрезка АВ параллельно первоначальному положению () точки А и В движутся по одинаковым траекториям, т.е. если траекторию совместить с траекторией , то они совпадут. Если вместе с точкой А рассмотреть движение точки С, то при движении тела отрезок АС также остается
параллельным своему первоначальному положению () и траектория точки С (кривая ) одинакова с траекториями и . или , или или , или . Как видим, поступательное движение твердого тела полностью характеризуется движением любой его точки. Обычно поступательное движение тела задается движением его центра тяжести, иначе говоря, при поступательном движении тело можно считать материальной точкой. Примерами поступательного движения тел могут служить какой-либо ползун 1, движущийся в прямолинейных направляющих 2, или прямолинейно движущийся автомобиль (вернее, не весь автомобиль, а его шасси с кузовом). Иногда криволинейное движение на поворотах дорог автомобилей или поездов условно принимают за поступательное. В подобных случаях говорят, что автомобиль или поезд движется с такой-то скоростью или с таким-то ускорением. Примерами криволинейного поступательного движения служат движение вагончика (люльки) подвесной канатной дороги или движение спарника, соединяющего два параллельных кривошипа. В последнем случае каждая точка спарника движется по окружности.
2.2.2. Вращательное движение. Угловая скорость, угловое ускорение Движение твердого тела, при котором все его точки перемещаются по окружности с центрами, расположенными на перпендикулярной этим окружностям неподвижной прямой, называется вращательным. Неподвижная прямая, на которой лежат центры круговых траекторий точек тела, называется его осью вращения. Для образования оси вращения достаточно закрепить какие-либо две точки тела. В качестве примеров вращательного движения тел можно привести движение дверей или створок окон при их открывании или закрывании. Представим себе тело в виде цилиндра, ось АВ которого лежит в подшипниках. Движением одной какой-либо точки однозначно определить вращательное движение тела нельзя. Для установления закона вращательного движения тела, по которому можно определять его положение в данный момент, проведем через ось вращения тела связанную только с нею неподвижную полуплоскость НП, а внутри тела отметим подвижную полуплоскость, которая вращается около оси вместе с телом, теперь угол , образуемый в каждый данный момент времени полуплоскостями НП и ПП, точно определяет положение тела в пространстве. Угол называется углом поворота и выражается в радианах. Чтобы определять положение тела в пространстве в любой момент времени, необходимо знать зависимость между углом поворота и временем t, т.е. знать закон вращательного движения тела; . Быстрота изменения угла поворота во времени характеризуется величиной, которая называется угловой скоростью. Представим, что в некоторый момент времени tположение вращающегося тела определяется углом поворота , а в момент - углом поворота . Следовательно, за время тело повернулось на угол и величина называется средней угловой скоростью.
Единицей угловой скорости является 1 рад/с. Характеристикой быстроты изменения угловой скорости служит угловое ускорение, обозначаемое . Среднее ускорение
Единица углового ускорения 1 рад/с2. Условимся угол поворота, отсчитываемый против хода стрелок часов, считать положительным, а отсчитываемый по ходу стрелок часов - отрицательным. Векторы и - это скользящие векторы, которые направлены по оси вращения в ту сторону, чтобы, глядя из конца вектора (или ), видеть вращение, происходящее против часовой стрелки. Если векторы и направлены в одну сторону, то вращательное движение тела ускоренное - угловая скорость возрастает. Если векторы и направлены в противоположные стороны, то вращение тела замедленное - угловая скорость уменьшается.
2.2.3. Частные случаи вращательного движения 1. Равно мерное вращательное движение. Если угловое ускорение = 0 и, следовательно, угловая скорость (2.1) то вращательное движение называется равномерным. Из выражения (2.1) после разделения переменных . Если при изменении времени от 0 до t угол поворота изменялся от (начальный угол поворота) до , то, интегрируя уравнение в этих пределах ч
получаем уравнение равномерного вращательного движения которое в окончательном виде записывается так: . (2.2) Если = 0, то (2.3) Таким образом, при равномерном вращательном движении угловая скорость или при 2. Равнопеременное вращательное движение. Если угловое ускорение (2.4) то вращательное движение называется равнопеременным. Производя разделение переменных в выражении (2.4): и приняв, что при изменении времени от 0 до t угловая скорость изменилась от (начальная угловая скорость) до , проинтегрируем уравнение в этих пределах: или
т.е. получим уравнение (2.5) выражающее значение угловой скорости в любой момент времени. Закон равнопеременного вращательного движения или, с учетом уравнения (2.5): Полагая, что в течение времени от 0 до t угол поворота изменялся от до , проинтегрируем уравнение в этих пределах: или Уравнение равнопеременного вращательного движения в окончательном виде: (2.6) Первую вспомогательную формулу получим» исключив из формул (2.5) и (2.6) время: (2.7) Исключив из тех же формул угловое ускорение £, получим вторую вспомогательную формулу: , (2.8) где - средняя угловая скорость при равнопеременном вращательном движении. Когда и , формулы (2.5), (2.6), (2.7) и (2.8) приобретают более простой вид: В процессе конструирования угловое перемещение выражают не в радианах, а просто в оборотах. Угловая скорость, выражаемая количеством оборотов в минуту, называется частотой вращения и обозначается n.. Установим зависимость между (рад/с) и n (об/мин). Так как , то при n (об/мин) за t= 1 мин = 60с угол поворота . Следовательно, . При переходе от угловой скорости (рад/с) к частоте вращения n (об/мин) имеем . 2.2.4. Скорости и ускорения различных точек вращающегося тела Определим скорость и ускорение любой точки в любой момент времени. Для этой цели установим зависимость между угловыми величинами , и , характеризующими вращательное движение тела, и линейными величинами и , характеризующими движение точек тела. Допустим, что тело, показанное на рисунке, вращаемся согласно уравнению . Требуется определить скорость V и ускорение точки А этого тела, расположенной на расстоянии от оси вращения 0. Пусть тело за некоторое время tповернулось на угол , а точка А, двигаясь по окружности из некоторого начального положения ао, переместилась на расстояние S =A0 A. Так как угол If выражается в радианах, то , (2.9)
т.е. расстояние, пройденное точкой вращающегося тела, пропорционально его углу поворота. Расстояние S и угол поворота -функции времени, a - величина, постоянная для данной точки. Продифференцируем по времени обе части равенства (2.9) и получим
но - скорость точки, a - угловая скорость тела, поэтому (2.10) т.е. скорость точки вращающегося тела пропорциональна его угловой скорости. Изформулы (2.10) видно, что для точек, расположенных на оси вращения, =0 и скорости этих точек также равны нулю. По мере изменения , т.е. у точек, находящихся дальше от оси вращения, скорости тем больше, чем больше значение . Пропорциональная зависимость скоростей различных точек вращающегося тела от их расстояний относительно оси вращения показана на рисунке. Продифференцировав обе части равенства (2.10), имеем , но - касательное ускорение точки, a - угловое ускорение тела, значит, (2.11)
т.е. касательное ускорение точки вращающегося тела пропорционально его угловому ускорению. Подставив в формулу , значение скорости из формулы (2.10), получим (2.12) т.е. нормальное ускорение точки вращающегося тела пропорционально второй степени его _угловой скорости. Из формулы после подстановки вместо и их значений из формул (2.11) и (2.12) получаем . (2.3)
Направление вектора ускорения, т.е. угол , определяется по одной из формул , причем последнюю из них можно представить теперь в таком виде: или (2.14) Из формул (2.13) и (2.14) следует, что для точек тела при его вращательном движении по заданному закону можно сначала найти ускорение , а затем разложить его на касательное ускорение и нормальное ускорение , модуль которых и
2.2.5. Способы передачи вращательного движения В технике часто возникает необходимость передачи вращательного движения от одной машины к другой (например, от электродвигателя к станку) или внутри какой-либо машины от одной вращающейся детали к другой. Механические устройства, предназначенные для передачи и преобразования вращательного движения, так и называются передачами.
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.014 сек.) |