Тема 3.3 Общие теоремы динамики

3.3.1. Импульс силы.

Количество движения. Кинетическая энергия

Любое взаимодействие тел, приводящее к какому-либо изменению движения, длится в течение некоторого времени. Векторная мера действия силы

,

равная произведению силы на элементарный промежуток времени ее

действия, называется элементарны!/ импульсом силы. Направление вектора импульса совпадает с направлением вектора силы. Единица

импульса в СИ – Н с:

.

Векторная мера механического движения точки

,

равная произведению массы точки на ее скорость в данный момент времени, называется количеством движения. Направление вектора количества движения совпадает с направлением вектора скорости. Единица количества движения в СИ – . Как видим, единицы импульса силы и количества движения одинаковы. Скалярная мера механического движения точки

,

равная половине произведения массы точки на квадрат ее скорости, называется кинетической энергией. Единица кинетической энергии -джоуль (Дж). 1 Дж = 1 H • 1м=1 кг•м/с² • 1 м = 1 кг•м²/с².

3.3.2. Теорема об изменении количества

движения точки

Пусть на точку массой m действует система постоянных сил, равнодействующая которых , согласно основному закону динами­ки равна

(изменение количества движения точки равно импульсу всех сил). Спроецировав на оси координат обе части векторного равенства (3.2), в общем случае получим: а) систему трех скалярных уравне­ний:

где

б) если силы, действующие на точку, лежат в одной плоскости, то получим два скалярных уравнения;

в) если силы действуют вдоль одной прямой, то, спроецировав уравнение (3.2) на эту прямую, получим одно скалярное уравнение

.

3.3.3. Теорема об изменении кинетической

энергии точки

Пусть на точку действует система постоянных сил, равнодейст­вующая которых . Допустим, что силы действуют вдоль одной прямой.

;

.

На прямолинейном пути

и

Отсюда с учетом того, что ,

,

т.е. изменение кинетической энергии точки равно сумме работ дей­ствующих сил.

3.3.4. Понятие о механической системе.

Совокупность материальных точек, связанных между собой сила­ми взаимодействия, называется механической системой. Например, механическую систему образуют Земля и Луна или спортивный само­лет и буксируемый им планер.

Любое материальное тело рассматривается в механике как меха­ническая система, образуемая совокупностью материальных точек. Абсолютно твердое тело носит название неизменяемой механической системы, так как расстояние между материальными точками остается неизменным. Изменяемые системы - любые машины или механизмы.

Если рассматривать какую-либо механическую систему, то силы, действующие на точки системы со стороны точек или тел, не входя­щих в эту систему, называются внешними (F_e, R_e), а силы, дей­ствующие на точки системы со стороны точек или тел этой же сис­темы, называются внутренними (F_i).

и т.д.

.Главный вектор всех внутренних сил механической системы равен нулю, причем если рассматриваемая механическая система неизменя­емая.

Движение механической системы зависит от:

1) действующих сил;

2) суммарной массы системы

,

где m - масса механической системы и - массы ее отдельных точек;

3) положения центра масс системы.

Движение центра масс определяется уравнением (только при по­ступательном движении)

,

где - результирующая всех внешних сил, приложенных к точкам системы; m - масса системы и - ускорение центра масс системы.

Как видим, это уравнение аналогично основному уравнению дина­мики точки. Смысл его состоит в том, что центр масс системы дви­жется как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы и приложены все внешние силы.

3.3.5. Основное уравнение динамики

вращающегося тела.

Пусть твердое тело под действием внешних сил (эти силы на рисунке не показаны) вращается около оси OZ с угловым уско­рением . Алгебраическая сумма моментов всех сил (активных сил и сил сопротивления) относительно оси 0Z,

называется вращающим моментом.

Рассматривая твердое тело как механическую систему, разобьем его на множество материальных точек с массами . Каждая из этих точек движется по окружности радиуса . с ускорением , которое разложим на касательное . и нормальное . ускоре­ния.

Приложим к каждой материальной точке элементарные силы инер­ции: касательную и нормальную . Согласно принципу Даламбера, активные силы, силы реакции связей и силы инерции образуют уравновешенную систему. Поэтому алгебра­ическая сумма моментов всех этих сил относительно оси 0Z должна быть равна нулю, т.е.

(моменты сил относительно оси 0Z равны нулю, так как линии действия этих сил пересекают ось).

У любой точки вращающегося тела числовое значение касательно­го ускорения , поэтому значение , где - угловое ускорение тела.

.

Величина равная сумме произведений масс всех точек тела на квадраты их расстояний от оси вращения, называется моментом инерции тела (системы) относительно этой оси.

Основное уравнение динамики вращающегося тела:

.

В СИ момент инерции тела выражается в .

3.3.6. Кинетическая энергия тела.

Кинетический момент.

Кинетическая энергия тела складывается из кинетических энер­гий его отдельных точек.

1. При поступательном движении тела скорости всех его точек

равны между собой и равны V_c - скорости центра масс тела. По­этому легко понять, что кинетическая энергия тела при поступа­тельном движении

,

где m - масса тела; V_c - значение скорости центра масс.

2. При вращательном движении тела с некоторой угловой ско

ростью все его точки движутся по окружностям различных радиу­сов и имеют скорости .. Определив кинетическую энер­гию каждой точки и сложив ее по всему объему тела, полу­чим:

.

А так как - момент инерции тела относительно оси Z, находим для кинетической энергии такое выражение:

.

Кинетическая энергия тела при сложном его движении (при плос­копараллельном, в частности) складывается из кинетической энер­гии поступательного движения со скоростью центра масс и кинети­ческой энергии вращательного движения с угловой скоростью во­круг оси, проходящей через центр масс, т.е.

.

Кроме кинетической энергии мерой вращательного движения тела является величина

,

называемая кинетическим моментом вращающегося тела. Кинетический

момент в СИ выражается в .

Литература.

1. Гернет М.М. Курс теоретической механики,- М.: Высшая шко­ла, 1970.- С. 440.

2. Кильчевский Н.А., Ремизова Н.И., Шепелевская Н.Н. Основы теоретической механики,- Киев: Техника, 1968,- С. 260,

3. Павловский М.А., Акинфиева Л.Ю., Бойчук О.Ф. Теоретическая механика. В 2 ч.-Киев: Вища школа, 1989, 1990. - С. 350, 480.

4. Пешль Т. Теоретическая механика для инженеров и физиков.-М.-Л.: ГТТИ, 1934.- С. 344.

5. Тарг G.M. Краткий курс теоретической механики»- М.: Высшая школа, 1986,- С. 416.

6. Яблонский А.А., Никифорова В.М. Курс теоретической механи­ки. 3.2 ч.-М.: Высшая школа, 1977,- С. 370, 390.

Оглавление

Раздел 1. СТАТИКА....................................... 4

Тема 1.1. Основные положения статики...................... 4

Тема 1.2. Плоская система сходящихся сил.................. 10

Тема 1.3. Теория пар сил на плоскости..................... 14

Тема 1.4. Плоская система произвольно расположенных сил... 17

Тема 1.5. Пространственная система сил.................... 27

Раздел 2.. КИНЕМАТИКА.................................... 32

Тема 2.1. Кинематика точки................................ 32

Тема 2.2. Простейшие движения твердого тела............... 41

Тема 2.3. Сложное движение.................................50

Раздел 3.. ДИНАМИКА...................................... 56

Тема 3.1. Движение несвободной материальной точки......... 56

Тема 3.2. Работа и мощность............................... 61

Тема 3.3. Общие теоремы динамики.......................... 71

Литература........................................... 78

Поиск по сайту: